ТЕОРЕМА НОРТОНА: ОПИСАНИЕ, ПРИЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ И УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Теорема Нортон , применяется к электрическим цепям, устанавливает линейную цепь с двумя терминалами а и б, может быть заменено другим полностью эквивалентны, состоящие из источника тока я вызов _не подключен параллельно с сопротивлением R _Нет .

Упомянутый ток I _No или I _N - это тот ток, который протекает между точками a и b, если они были замкнуты накоротко. Сопротивление R _N - это эквивалентное сопротивление между выводами, когда все независимые источники отключены. Все сказанное показано на рисунке 1.

Рисунок 1. Эквивалентная схема Norton. Источник: Wikimedia Commons. Барабанщик

Черный ящик на рисунке содержит линейную схему, которую нужно заменить ее эквивалентом в Norton. Линейная схема - это схема, в которой вход и выход имеют линейную зависимость, такую ​​как соотношение между напряжением V и постоянным током I в омическом элементе: V = IR

Это выражение соответствует закону Ома, где R - сопротивление, которое также может быть импедансом, если это цепь переменного тока.

Теорема Нортона была разработана инженером-электриком и изобретателем Эдвардом Л. Нортоном (1898-1983), который долгое время работал в Bell Laboratories.

Приложения теоремы Нортона

Когда у вас очень сложные сети с большим количеством сопротивлений или импедансов, и вы хотите вычислить напряжение между любыми из них или ток, протекающий через них, теорема Нортона упрощает вычисления, поскольку, как мы видели, сеть можно заменить на меньшая по размеру и более управляемая схема.

Таким образом, теорема Нортона очень важна при разработке схем с несколькими элементами, а также при изучении их отклика.

Связь между теоремами Нортона и Тевенина

Теорема Нортона двойственная теореме Тевенина, что означает, что они эквивалентны. Теорема Тевенина утверждает, что черный ящик на Рисунке 1 можно заменить источником напряжения, подключенным последовательно с резистором, называемым резистором Тевенина R _Th . Это выражено на следующем рисунке:

Рис. 2. Исходная схема слева и ее эквиваленты Thévenin и Norton. Источник: Ф. Сапата.

Схема слева - это исходная схема, линейная сеть в черном ящике, схема A вверху справа - эквивалент Тевенина, а схема B - эквивалент Нортона, как описано. Если смотреть с клемм a и b, эти три цепи эквивалентны.

Теперь обратите внимание, что:

-В исходной схеме напряжение между клеммами равно V _ab .

-V _ab = V _Th в контуре A

-Наконец, V _ab = I _N .R _N в контуре B

Если клеммы a и b закорочены во всех трех цепях, необходимо убедиться, что напряжение и ток между этими точками должны быть одинаковыми для всех трех, поскольку они эквивалентны. Так:

-В исходной цепи ток равен i.

-Для цепи A ток равен i = V _Th / R _Th , согласно закону Ома.

-Наконец, в цепи B ток равен I _N

Таким образом, можно сделать вывод, что сопротивления Нортона и Тевенина имеют одинаковое значение, а ток определяется по формуле:

i = I _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N

пример

Чтобы правильно применить теорему Нортона, необходимо выполнить следующие шаги:

-Изолируйте от сети тот участок цепи, для которого необходимо найти эквивалент Norton.

-В оставшейся цепи указать клеммы а и b.

-Замените источники напряжения для коротких замыканий и источники тока для открытых цепей, чтобы найти эквивалентное сопротивление между клеммами a и b. Это R _N .

-Верните все источники в исходное положение, закоротите клеммы и найдите ток, который циркулирует между ними. Это я _N .

- Нарисуйте эквивалентную схему Нортона в соответствии с рисунком 1. Источник тока и эквивалентное сопротивление подключены параллельно.

Теорема Тевенина также может быть применена для нахождения R _Th, который, как мы уже знаем, равен R _N , тогда по закону Ома мы можем найти I _N и приступить к построению получившейся схемы.

А теперь посмотрим на пример:

Найдите эквивалент Нортона между точками A и B следующей схемы:

Рисунок 3. Пример схемы. Источник: Ф. Сапата.

Часть схемы, эквивалент которой необходимо найти, уже изолирована. И точки А и Б четко определены. Далее следует замкнуть накоротко источник 10 В и найти эквивалентное сопротивление полученной цепи:

Рисунок 4. Короткозамкнутый источник. Источник: Ф. Сапата.

Если смотреть со стороны клемм A и B, оба резистора R ₁ и R ₂ включены параллельно, поэтому:

1 / R _экв = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ом ^-1 = 5/12 Ом ^-1 → R _экв = 12/5 Ом = 2,4 Ом

Тогда источник возвращается на место и в точках А и В замкнуты найти ток , протекающий там, это будет I _N . В таком случае:

Рисунок 5. Схема для расчета тока Нортона. Источник: Ф. Сапата.

I _N = 10 В / 4 Ом = 2,5 А

Эквивалент Norton

Наконец, отображается эквивалент Norton с найденными значениями:

Рисунок 6. Нортоновский эквивалент схемы на рисунке 3. Источник: F. Zapata.

Упражнение решено

В схеме на следующем рисунке:

Рисунок 7. Схема решенного упражнения. Источник: Александр К. 2006. Основы электрических цепей. 3-й. Издание. Мак Гроу Хилл.

а) Найдите схему замещения внешней сети синего резистора по схеме Нортона.

б) Также найдите эквивалент Тевенина.

Решение для

Следуя шагам, указанным выше, источник необходимо замкнуть накоротко:

Рисунок 8. Короткое замыкание источника в цепи рисунка 7. Источник: F. Zapata.

Расчет RN

Если смотреть со стороны клемм A и B, резистор R ₃ включен последовательно с параллелью, образованной резисторами R ₁ и R ₂ , давайте сначала вычислим эквивалентное сопротивление этой параллели:

А затем эта параллель включена последовательно с R _3, поэтому эквивалентное сопротивление:

Это значение R _N и R _Th , как объяснялось ранее.

Расчет IN

Затем клеммы A и B замыкаются накоротко, возвращая источник на место:

Рисунок 9. Цепи для определения тока Нортона. Источник: Ф. Сапата.

Ток через I ₃ является искомым током I _N , который может быть определен сеточным методом или последовательным и параллельным. В этой схеме R ₂ и R ₃ включены параллельно:

Резистор R ₁ включен последовательно с этой параллелью, тогда:

Выходящий из источника (синий цвет) ток рассчитывается по закону Ома:

Этот ток делится на две части: одна проходит через R _2, а другая - через R ₃ . Однако ток, проходящий через параллельный резистор R _23, совпадает с током, протекающим через резистор R ₁ , как видно на промежуточной цепи на рисунке. Напряжение там:

Оба резистора R ₂ и R ₃ находятся под этим напряжением, поскольку они включены параллельно, поэтому:

У нас уже есть искомый ток Нортона, поскольку, как было сказано ранее, I ₃ = I _N , тогда:

Эквивалент Norton

Все готово, чтобы нарисовать Нортон-эквивалент этой схемы между точками A и B:

Рисунок 10. Эквивалент Norton схемы на рисунке 7. Источник: F. Zapata.

Решение б

Найти эквивалент Тевенина очень просто, поскольку R _Th = R _N = 6 Ом и, как объяснялось в предыдущих разделах:

В _Th = I _Н . R _N = 1 А. 6 Ом = 6 В

Эквивалентная схема Тевенина:

Рисунок 11. Тевенинский эквивалент схемы на рисунке 7. Источник: Ф. Сапата.

Ссылки

1. Александр, C. 2006. Основы электрических цепей. 3-й. Издание. Мак Гроу Хилл.
2. Бойлестад, Р. 2011. Введение в анализ цепей. 2-й. Издание. Пирсон.
3. Дорф, Р. 2006. Введение в электрические схемы. 7-е. Издание. Джон Вили и сыновья.
4. Эдминистер, Дж. 1996. Электрические схемы. Серия Шаум. 3-й. Издание. Мак Гроу Хилл.
5. Wikipedia. Теорема Нортона. Получено с: es.wikipedia.org.