ЧТО ТАКОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕДЕЛЫ? (УПРАЖНЕНИЯ РЕШЕНЫ) - МАТЕМАТИКА - 2024

В тригонометрических пределах ограничение функций таким образом, что эти функции образованны тригонометрические функции.

Чтобы понять, как рассчитать тригонометрический предел, необходимо знать два определения.

Вот эти определения:

- Предел функции «f», когда «x» стремится к «b»: он состоит из вычисления значения, к которому f (x) приближается, когда «x» приближается к «b», не достигая «b». ».

- Тригонометрические функции: тригонометрические функции - это функции синуса, косинуса и тангенса, обозначаемые как sin (x), cos (x) и tan (x) соответственно.

Остальные тригонометрические функции получаются из трех упомянутых выше функций.

Ограничения функций

Чтобы прояснить концепцию ограничения функции, мы продолжим показывать несколько примеров с простыми функциями.

- Предел f (x) = 3, когда «x» стремится к «8», равен «3», поскольку функция всегда постоянна. Независимо от того, сколько стоит «x», значение f (x) всегда будет «3».

- Предел f (x) = x-2, когда «x» стремится к «6», равен «4». Поскольку, когда «x» приближается к «6», тогда «x-2» приближается к «6-2 = 4».

- Предел g (x) = x², когда «x» стремится к «3», равен 9, поскольку, когда «x» приближается к «3», тогда «x²» приближается к «3² = 9». ,

Как видно из предыдущих примеров, вычисление предела состоит из оценки значения, к которому "x" стремится в функции, и результатом будет значение предела, хотя это верно только для непрерывных функций.

Есть ли более сложные ограничения?

Ответ положительный. Приведенные выше примеры являются простейшими примерами ограничений. В книгах по математике основными упражнениями по ограничению являются те, которые порождают неопределенность типа 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 и (∞) ^ 0.

Эти выражения называются неопределенностями, поскольку они не имеют математического смысла.

Кроме того, в зависимости от функций, включенных в исходный предел, результат, полученный при решении неопределенностей, может быть различным в каждом случае.

Примеры простых тригонометрических пределов

Для определения пределов всегда очень полезно знать графики задействованных функций. Графики функций синуса, косинуса и тангенса показаны ниже.

Вот некоторые примеры простых тригонометрических ограничений:

- Вычислить предел sin (x), когда «x» стремится к «0».

Глядя на график, можно увидеть, что если «x» приближается к «0» (как слева, так и справа), то синусоидальный график также приближается к «0». Следовательно, предел sin (x), когда «x» стремится к «0», равен «0».

- Рассчитайте предел cos (x), когда «x» стремится к «0».

Наблюдая за графиком косинуса, можно увидеть, что когда «x» близко к «0», тогда график косинуса близок к «1». Это означает, что предел cos (x), когда «x» стремится к «0», равен «1».

Ограничение может существовать (быть числом), как в предыдущих примерах, но может также случиться, что оно не существует, как показано в следующем примере.

- Предел tan (x), когда «x» стремится к «Π / 2» слева, равен «+ ∞», как видно на графике. С другой стороны, предел tan (x), когда «x» стремится к «-/ 2» справа, равен «-∞».

Тождества тригонометрических пределов

При расчете тригонометрических пределов используются два очень полезных тождества:

- Предел «sin (x) / x», когда «x» стремится к «0», равен «1».

- Предел «(1-cos (x)) / x», когда «x» стремится к «0», равен «0».

Эти идентичности используются очень часто, когда у вас есть какая-то неопределенность.

Решенные упражнения

Решите следующие ограничения, используя идентификаторы, описанные выше.

- Вычислить предел «f (x) = sin (3x) / x», когда «x» стремится к «0».

Если функция «f» оценивается как «0», будет получена неопределенность типа 0/0. Следовательно, мы должны попытаться решить эту неопределенность, используя описанные идентичности.

Единственная разница между этим пределом и идентификатором - это число 3, которое появляется в синусоидальной функции. Чтобы применить тождество, функцию «f (x)» необходимо переписать следующим образом «3 * (sin (3x) / 3x)». Теперь и аргумент синуса, и знаменатель равны.

Поэтому, когда «x» стремится к «0», использование тождества дает «3 * 1 = 3». Следовательно, предел f (x), когда «x» стремится к «0», равен «3».

- Вычислить предел «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», когда «x» стремится к «0».

Когда «x = 0» подставляется в g (x), получается неопределенность типа ∞-∞. Чтобы решить ее, сначала вычитаются дроби, что дает "(1-cos (x)) / x".

Теперь, применяя второе тригонометрическое тождество, мы получаем, что предел g (x), когда «x» стремится к «0», равен 0.

- Рассчитайте предел «h (x) = 4tan (5x) / 5x», когда «x» стремится к «0».

Опять же, если h (x) оценивается как «0», будет получена неопределенность типа 0/0.

Переписывая как (5x) как sin (5x) / cos (5x), получаем h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Используя то, что предел 4 / cos (x), когда «x» стремится к «0», равен «4/1 = 4», и получается первое тригонометрическое тождество, что предел h (x), когда «x» стремится «0» равно «1 * 4 = 4».

наблюдение

Тригонометрические пределы не всегда легко решить. В этой статье были показаны только базовые примеры.

Ссылки

1. Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Флеминг В. и Варберг Д.Е. (1989). Математика Precalculus: подход к решению проблем (2, иллюстрированный ред.). Мичиган: Прентис Холл.
3. Флеминг, В., и Варберг, Д. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
4. Ларсон, Р. (2010). Precalculus (8-е изд.). Cengage Learning.
5. Леал, Дж. М., и Вилория, Н. Г. (2005). Плоская аналитическая геометрия. Мерида - Венесуэла: Редакция Венесолана CA
6. Перес, CD (2006). Предвычисления. Pearson Education.
7. Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Исчисление (Девятое изд.). Прентис Холл.
8. Саенс Дж. (2005). Дифференциальное исчисление с ранними трансцендентными функциями для науки и техники (второе издание ред.). Гипотенузы.
9. Скотт, Калифорния (2009). Декартова плоская геометрия, Часть: Аналитические коники (1907) (переиздание). Источник молнии.
10. Салливан, М. (1997). Предвычисления. Pearson Education.