КОПЛАНАРНЫЕ ТОЧКИ: УРАВНЕНИЕ, ПРИМЕР И РЕШЕННЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Все компланарные точки принадлежат одной плоскости. Две точки всегда копланарны, так как эти точки определяют линию, через которую проходят бесконечные плоскости. Тогда обе точки принадлежат каждой из плоскостей, проходящих через линию, и поэтому они всегда будут компланарными.

С другой стороны, три точки определяют одну плоскость, из чего следует, что три точки всегда будут копланарны плоскости, которую они определяют.

Рис. 1. A, B, C и D компланарны плоскости (Ω). E, F и G не компланарны (Ω), но они компланарны плоскости, которую они определяют. Источник: Ф. Сапата.

Более трех точек могут быть копланарными или нет. Например, на рисунке 1 точки A, B, C и D компланарны плоскости (Ω). Но E, F и G не компланарны (Ω), хотя они компланарны плоскости, которую они определяют.

Уравнение плоскости по трем точкам

Уравнение плоскости, определяемой тремя известными точками A, B, C, является математическим соотношением, которое гарантирует, что любая точка P с общими координатами (x, y, z), удовлетворяющая уравнению, принадлежит указанной плоскости.

Предыдущее утверждение эквивалентно утверждению, что если P координат (x, y, z) удовлетворяет уравнению плоскости, то указанная точка будет компланарна трем точкам A, B, C, которые определяют плоскость.

Чтобы найти уравнение этой плоскости, начнем с нахождения векторов AB и AC :

AB =

AC =

Векторное произведение AB X AC приводит к вектору, перпендикулярному или перпендикулярному плоскости, определяемой точками A, B, C.

Любая точка P с координатами (x, y, z) принадлежит плоскости, если вектор AP перпендикулярен вектору AB X AC , что гарантируется, если:

AP • (AB X AC) = 0

Это эквивалентно тому, что тройное произведение AP , AB и AC равно нулю. Вышеприведенное уравнение можно записать в матричной форме:

пример

Пусть точки A (0, 1, 2); В (1, 2, 3); C (7, 2, 1) и D (a, 0, 1). Какое значение должны иметь четыре точки, чтобы быть компланарными?

Решение

Чтобы найти значение a, точка D должна быть частью плоскости, определяемой A, B и C, что гарантировано, если она удовлетворяет уравнению плоскости.

Развивая определитель, мы имеем:

Предыдущее уравнение говорит нам, что a = -1 для выполнения равенства. Другими словами, единственный способ, при котором точка D (a, 0,1) компланарна точкам A, B и C, состоит в том, чтобы a было -1. В противном случае он не будет компланарным.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Плоскость пересекает декартовы оси X, Y, Z в точках 1, 2 и 3 соответственно. Пересечение этой плоскости с осями определяет точки A, B и C. Найдите компонент Dz точки D, декартовы компоненты которого равны:

При условии, что D компланарен точкам A, B и C.

Решение

Когда точки пересечения плоскости с декартовыми осями известны, можно использовать сегментарную форму уравнения плоскости:

х / 1 + у / 2 + z / 3 = 1

Поскольку точка D должна принадлежать предыдущей плоскости, она должна:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

То есть:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Из вышесказанного следует, что точка D (3, -2, -3) компланарна точкам A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) и C (0, 0, 3).

- Упражнение 2.

Определите, если точки A (0, 5, 3); В (0, 6, 4); C (2, 4, 2) и D (2, 3, 1) компланарны.

Решение

Сформируем матрицу, строки которой - координаты DA, BA и CA. Затем вычисляется определитель и проверяется, равен ли он нулю.

После выполнения всех расчетов делается вывод, что они компланарны.

- Упражнение 3

В космосе две линии. Одна из них - линия (R), параметрическое уравнение которой имеет следующий вид:

А другой - линия (S), уравнение которой:

Покажите, что (R) и (S) - компланарные прямые, то есть лежат в одной плоскости.

Решение

Начнем с произвольного выбора двух точек на прямой (R) и двух на прямой (S):

Линия (R): λ = 0; A (1, 1, 1) и λ = 1; В (3, 0, 1)

Пусть x = 0 на прямой (S) => y = ½; С (0, 1/2, -1). И с другой стороны, если мы сделаем y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

То есть мы взяли точки A и B, принадлежащие прямой (R), и точки C и D, принадлежащие прямой (S). Если эти точки копланарны, то две линии тоже будут.

Теперь мы выбираем точку A в качестве точки поворота, а затем находим координаты векторов AB , AC и AD. Таким образом вы получаете:

B - A: (3-1, 0-1, 1-1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1-1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0-1, -1-1) => AD = (0, -1, -2)

Следующим шагом является построение и вычисление определителя, первая строка которого является коэффициентами вектора AB , вторая строка - коэффициентами AC, а третья строка - векторами AD :

Поскольку определитель оказывается нулевым, мы можем заключить, что четыре точки компланарны. Кроме того, можно указать, что линии (R) и (S) также копланарны.

- Упражнение 4

Прямые (R) и (S) компланарны, как показано в упражнении 3. Найдите уравнение плоскости, которая их содержит.

Решение

Точки A, B, C полностью определяют эту плоскость, но мы хотим наложить, что любая точка X с координатами (x, y, z) принадлежит ей.

Чтобы X принадлежал плоскости, определяемой A, B, C и в которой содержатся прямые (R) и (S), необходимо, чтобы определитель, образованный в его первой строке компонентами AX , во второй строке теми из AB, а в третьем - AC :

Следуя этому результату, группируем следующим образом:

2 (х-1) + 4 (у-1) -2 (г-1) = 0

И сразу видно, что его можно переписать так:

х - 1 + 2у - 2 - г + 1 = 0

Следовательно, x + 2y - z = 2 - это уравнение плоскости, содержащей прямые (R) и (S).

Ссылки

1. Флеминг, В. 1989. Математика Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Колман, Б. 2006. Линейная алгебра. Pearson Education.
3. Леал, Дж. М. 2005. Плоская аналитическая геометрия. Мерида - Венесуэла: Редакция Венесолана CA
4. Наварро, Росио. Векторы. Получено с: books.google.co.ve.
5. Перес, CD 2006. Предварительный расчет. Pearson Education.
6. Преновиц, В. 2012. Основные понятия геометрии. Роуман и Литтлфилд.
7. Салливан, М. 1997. Precalculus. Pearson Education.