УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ: ФОРМУЛЫ И УРАВНЕНИЯ, СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ - ДУДАС - 2024

Условная вероятность , является возможностью возникновения определенного события, при условии , что другие происходят как условие. Эта дополнительная информация может (или не может) изменить восприятие того, что что-то произойдет.

Например, мы можем спросить себя: «Какова вероятность того, что сегодня пойдет дождь, учитывая, что дождя не было два дня?» Событие, вероятность которого мы хотим знать, - это то, что сегодня идет дождь, и дополнительная информация, которая будет обусловливать ответ, заключается в том, что «дождя не было в течение двух дней».

Рисунок 1. Вероятность того, что сегодня пойдет дождь, с учетом того, что вчера шел дождь, также является примером условной вероятности. Источник: Pixabay.

Пусть вероятностное пространство составлено из Ω (пространство выборки), ℬ (случайные события) и P (вероятность каждого события) плюс события A и B, которые принадлежат ℬ.

Условная вероятность того, что произойдет A, с учетом того, что произошло B, обозначается как P (A│B), определяется следующим образом:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A и B) / P (B)

Где: P (A) - вероятность появления A, P (B) - вероятность события B и отлична от 0, а P (A∩B) - вероятность пересечения между A и B, то есть, , вероятность того, что оба события произойдут (совместная вероятность).

Это выражение теоремы Байеса в применении к двум событиям, предложенное в 1763 году английским теологом и математиком Томасом Байесом.

Свойства

-Все условные вероятности находятся между 0 и 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

-Вероятность того, что событие A произойдет, учитывая, что это событие произойдет, очевидно, равна 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-Если два события являются исключительными, то есть события, которые не могут произойти одновременно, тогда условная вероятность того, что одно из них произойдет, равна 0, поскольку пересечение равно нулю:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

-Если B является подмножеством A, то условная вероятность также равна 1:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

Важный

P (A│B) обычно не равно P (B│A), поэтому мы должны быть осторожны, чтобы не поменять местами события при нахождении условной вероятности.

Общее правило умножения

Часто вам нужно найти совместную вероятность P (A∩B), а не условную вероятность. Тогда по следующей теореме имеем:

P (A∩B) = P (A и B) = P (A│B). P (B)

Теорема может быть распространена на три события A, B и C:

P (A∩B∩C) = P (A, B и C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

А также для различных событий, таких как A ₁ , A ₂ , A ₃ и др., Это можно выразить следующим образом:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ … ∩ A _n ) = P (A ₁ ). P (A ₂ │A ₁ ). P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ )… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

Когда речь идет о событиях, которые происходят последовательно и на разных этапах, удобно организовать данные в виде диаграммы или таблицы. Это упрощает визуализацию вариантов достижения запрошенной вероятности.

Примерами являются древовидная диаграмма и таблица непредвиденных обстоятельств. Из одного из них можно построить другой.

Примеры условной вероятности

Давайте посмотрим на некоторые ситуации, в которых вероятность одного события изменяется в результате наступления другого:

- Пример 1

В кондитерской продают два вида тортов: клубничный и шоколадный. Путем регистрации предпочтений 50 клиентов обоего пола были определены следующие значения:

-27 женщин, из которых 11 предпочитают клубничный торт и 16 шоколадных.

-23 мужчины: 15 выбирают шоколад и 8 клубнику.

Вероятность того, что покупатель выберет шоколадный торт, можно определить, применив правило Лапласа, согласно которому вероятность любого события составляет:

P = количество благоприятных событий / общее количество событий

В этом случае из 50 клиентов 31 предпочитает шоколад, поэтому вероятность будет P = 31/50 = 0,62. То есть 62% покупателей предпочитают шоколадный торт.

Но было бы иначе, если бы клиентом была женщина? Это случай условной вероятности.

Таблица сопряженности

Используя такую ​​таблицу непредвиденных обстоятельств, можно легко отобразить итоги:

Затем наблюдаются благоприятные случаи и применяется правило Лапласа, но сначала мы определяем события:

-B - событие "покупательница-женщина".

-A - мероприятие «предпочитаю шоколадный торт» для женщин.

Идем в столбец с надписью «женщины» и видим, что их всего 27.

Затем в «шоколадном» ряду ищется благоприятный случай. Таких событий 16, поэтому искомая вероятность напрямую равна:

P (A│B) = 16/27 = 0,5924

59,24% покупательниц предпочитают шоколадный торт.

Это значение совпадает, когда мы сравниваем его с изначально данным определением условной вероятности:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

Убедимся, что используем правило Лапласа и значения таблицы:

Р (В) = 27/50

P (A и B) = 16/50

Где P (A и B) - вероятность того, что покупатель предпочитает шоколад и является женщиной. Теперь значения подставлены:

P (A│B) = P (A и B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0,5924.

И доказано, что результат такой же.

- Пример 2

В этом примере применяется правило умножения. Предположим, в магазине выставлены брюки трех размеров: маленький, средний и большой.

В партии из 24 штанов, из которых по 8 штанов каждого размера, и все они смешаны, какова вероятность извлечения двух из них, и что они оба маленькие?

Понятно, что вероятность снять маленькие штаны с первой попытки составляет 8/24 = 1/3. Теперь второе извлечение условно для первого события, так как при снятии пары штанов их уже не 24, а 23. А если удалить маленькие штаны, их будет 7 вместо 8.

Событие А натягивает одни штаны, натянув другие с первой попытки. И событие B - это событие с маленькими штанами впервые. Таким образом:

Р (В) = 1/3; P (A│B) = 7/24

Наконец, используя правило умножения:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0,097

Упражнение решено

При исследовании пунктуальности коммерческих рейсов доступны следующие данные:

-P (B) = 0,83 - вероятность того, что самолет взлетит вовремя.

-P (A) = 0,81, вероятность своевременной посадки.

-P (B∩A) = 0,78 - вероятность того, что рейс прибудет вовремя и вылетит вовремя.

Просят рассчитать:

а) Какова вероятность того, что самолет приземлится вовремя, учитывая, что он вылетел вовремя?

б) Эта вероятность совпадает с вероятностью того, что вы ушли вовремя, если вам удалось приземлиться вовремя?

в) И наконец: какова вероятность того, что он прибудет вовремя, учитывая, что он не уехал вовремя?

Рис. 2. Пунктуальность на коммерческих рейсах важна, поскольку задержки приводят к убыткам в миллионы долларов. Источник: Pixabay.

Решение для

Для ответа на вопрос используется определение условной вероятности:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A и B) / P (B) = 0,78 / 0,83 = 0,9398

Решение б

В этом случае происходит обмен событиями в определении:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A и B) / P (A) = 0,78 / 0,81 = 0,9630

Обратите внимание, что эта вероятность немного отличается от предыдущей, как мы указывали ранее.

Решение c

Вероятность не уехать вовремя составляет 1 - P (B) = 1 - 0,83 = 0,17, мы назовем это P (B ^C ), потому что это дополнительное событие для своевременного взлета. Искомая условная вероятность:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A и B ^C ) / P (B ^C )

С другой стороны:

P (A∩B ^C ) = P (своевременная посадка) - P (своевременная посадка и своевременный взлет) = 0,81-0,78 = 0,03

В этом случае искомая условная вероятность равна:

P (A│B ^C ) = 0,03 / 0,17 = 0,1765

Ссылки

1. Канавос, Г. 1988. Вероятность и статистика: приложения и методы. Макгроу Хилл.
2. Деворе, Дж. 2012. Вероятность и статистика для техники и науки. 8-е. Издание. Cengage.
3. Липшуц, С. 1991. Серия Шаум: Вероятность. Макгроу Хилл.
4. Обрегон, I. 1989. Теория вероятностей. От редакции Лимуса.
5. Уолпол, Р. 2007. Вероятность и статистика для инженерии и науки. Пирсон.
6. Wikipedia. Условная возможность. Получено с: es.wikipedia.org.