Угол , вписанные окружностей является тот , который имеет свою вершину на окружности и ее лучи секущие или по касательным к ней. Как следствие, вписанный угол всегда будет выпуклым или плоским.
На рисунке 1 представлено несколько углов, вписанных в их соответствующие окружности. Угол ∠EDF вписан, имея вершину D на окружности и два луча =.
В равнобедренном треугольнике углы, примыкающие к основанию, равны, поэтому ∠BCO = ∠ABC = α. С другой стороны ∠COB = 180º - β.
Рассматривая сумму внутренних углов треугольника COB, имеем:
α + α + (180º - β) = 180º
Отсюда следует, что 2 α = β, или что эквивалентно: α = β / 2. Это согласуется с тем, что утверждает теорема 1: мера вписанного угла равна половине центрального угла, если оба угла образуют одну и ту же хорду.
Демонстрация 1b
Рис. 6. Вспомогательная конструкция, показывающая, что α = β / 2. Источник: Ф. Сапата с Geogebra.
В этом случае у нас есть вписанный угол ∠ABC, в котором центр O окружности находится внутри угла.
Чтобы доказать теорему 1 в этом случае, нарисуйте вспомогательный луч) .push ({});
Точно так же центральные углы β 1 и β 2 примыкают к указанному лучу. Таким образом , мы имеем ту же ситуацию , как показывают 1a, так что можно сказать , что α 2 = β 2 /2 и & alpha ; 1 = β 1 /2. Как α = α 1 + α 2 и β = β 1 + β 2 имеет , следовательно , что α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2 ) / 2 = β / два.
В заключение α = β / 2, что удовлетворяет теореме 1.
- Теорема 2
Рис. 7. Вписанные углы одинаковой меры α, так как они составляют одну и ту же дугу A⌒C. Источник: Ф. Сапата с Geogebra.
- Теорема 3
Вписанные углы, соединяющие хорды одной меры, равны.
Рис. 8. Вписанные углы, соединяющие хорды одинаковой меры, имеют одинаковую меру β. Источник: Ф. Сапата с Geogebra.
Примеры
- Пример 1
Покажите, что вписанный угол, который образует диаметр, является прямым углом.
Решение
Центральный угол ∠AOB, связанный с диаметром, представляет собой плоский угол, размер которого составляет 180º.
Согласно теореме 1, каждый угол, вписанный в окружность, которая образует одну и ту же хорду (в данном случае диаметр), имеет в качестве меры половину центрального угла, который образует ту же хорду, которая в нашем примере составляет 180º / 2 = 90º.
Рисунок 9. Каждый вписанный угол, который соответствует диаметру, является прямым углом. Источник: Ф. Сапата с Geogebra.
- Пример 2
Прямая (BC), касательная в точке A к окружности C, определяет вписанный угол ∠BAC (см. Рисунок 10).
Проверить выполнение теоремы 1 о вписанных углах.
Рис. 10. Вписанный угол BAC и его центральный угол выпуклости AOA. Источник: Ф. Сапата с Geogebra.
Решение
Угол ∠BAC вписан, потому что его вершина находится на окружности, а его стороны [AB) и [AC) касаются окружности, поэтому определение вписанного угла выполняется.
С другой стороны, вписанный угол ∠BAC образует дугу A⌒A, которая представляет собой всю окружность. Центральный угол, который образует дугу A⌒A, представляет собой выпуклый угол, размер которого равен полному углу (360º).
Вписанный угол, который охватывает всю дугу, составляет половину соответствующего центрального угла, то есть BAC = 360º / 2 = 180º.
С учетом всего вышеизложенного проверяется, что этот частный случай удовлетворяет теореме 1.
Ссылки
- Балдор. (1973). Геометрия и тригонометрия. Центральноамериканское культурное издательство.
- EA (2003). Элементы геометрии: с упражнениями и геометрией компаса. Медельинский университет.
- Геометрия 1-й ESO. Углы по окружности. Получено с: edu.xunta.es/
- Вся наука. Предлагаемые упражнения углов в окружности. Получено с: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Вписанный угол. Получено с: es.wikipedia.com