РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА: СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ И ОПЕРАЦИИ - МАТЕМАТИКА - 2024

В рациональных числах являются все числа могут быть получены в виде деления двух целых чисел. Примеры рациональных чисел: 3/4, 8/5, -16/3 и те, которые показаны на следующем рисунке. В рациональном числе указывается частное, при необходимости это можно сделать позже.

Фигура представляет собой любой предмет, округлый для большего комфорта. Если мы хотим разделить его на 2 равные части, как показано справа, у нас останется две половины, и каждая стоит 1/2.

Рисунок 1. Рациональные числа используются для разделения целого на несколько частей. Источник: Freesvg.

Разделив его на 4 равные части, мы получим 4 части, каждая из которых стоит 1/4, как на изображении в центре. И если его нужно разделить на 6 равных частей, каждая часть будет стоить 1/6, что мы видим на изображении слева.

Конечно, мы могли бы также разделить его на две неравные части, например, мы могли бы оставить 3/4 части и сохранить 1/4 часть. Также возможны другие деления, такие как 4/6 частей и 2/6 частей. Важно то, что сумма всех частей равна 1.

Таким образом, очевидно, что с помощью рациональных чисел вы можете делить, считать и распределять такие вещи, как еда, деньги, земля и все виды предметов на дроби. Таким образом, количество операций, которые можно выполнять с числами, увеличивается.

Рациональные числа также могут быть выражены в десятичной форме, что можно увидеть в следующих примерах:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333… ..

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Позже мы на примерах укажем, как переходить от одной формы к другой.

Свойства рациональных чисел

Рациональные числа, множество которых мы будем обозначать буквой Q, обладают следующими свойствами:

-Q включает натуральные числа N и целые Z.

Принимая во внимание, что любое число a может быть выражено как частное между собой и 1, легко видеть, что среди рациональных чисел есть также натуральные числа и целые числа.

Таким образом, натуральное число 3 можно записать в виде дроби, а также -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Таким образом, Q представляет собой числовой набор, который включает большее количество чисел, что очень необходимо, поскольку «круглых» чисел недостаточно для описания всех возможных операций, которые необходимо выполнить.

-Рациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить, результатом операции является рациональное число: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) х (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

-Между каждой парой рациональных чисел всегда можно найти другое рациональное число. На самом деле между двумя рациональными числами есть бесконечные рациональные числа.

Например, между рациональными числами 1/4 и 1/2 находятся рациональные числа 3/10, 7/20, 2/5 (и многие другие), которые можно проверить, выразив их в виде десятичных знаков.

-Любое рациональное число может быть выражено как: i) целое число или ii) ограниченное (строгое) или периодическое десятичное число: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,16666666 ……

- Одно и то же число может быть представлено бесконечными эквивалентными дробями, и все они принадлежат Q. Давайте посмотрим на эту группу:

Все они представляют собой десятичную дробь 0,428571 …

-Из всех эквивалентных дробей, которые представляют одно и то же число, несократимая дробь, самая простая из всех, является каноническим представителем этого числа. Канонический представитель приведенного выше примера - 3/7.

Рисунок 2.- Множество Q рациональных чисел. Источник: Wikimedia Commons. Увм Эдуардо Артур / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Примеры рациональных чисел

-Правильные дроби, у которых числитель меньше знаменателя:

-Неправильные дроби, числитель которых больше знаменателя:

-Натуральные числа и целые числа:

-Эквивалентные фракции:

Десятичное представление рационального числа

Когда числитель делится на знаменатель, получается десятичная форма рационального числа. Например:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,11111…

6/11 = 0,545454…

В первых двух примерах количество десятичных знаков ограничено. Это означает, что, когда деление выполнено, в конечном итоге получается остаток 0.

С другой стороны, в следующих двух число десятичных знаков бесконечно, поэтому и размещены многоточие. В последнем случае в десятичных дробях присутствует узор. В случае дроби 1/9 число 1 повторяется бесконечно, а в случае 6/11 - 54.

Когда это происходит, десятичная дробь называется периодической и обозначается символом вставки следующим образом:

Преобразование десятичной дроби в дробь

Если это ограниченное десятичное число, запятая просто удаляется, а знаменатель становится единицей, за которой следует столько нулей, сколько цифр в десятичной дроби. Например, чтобы преобразовать десятичную дробь 1,26 в дробь, запишите ее так:

1,26 = 126/100

Затем получившаяся дробь максимально упрощается:

126/100 = 63/50

Если десятичная дробь не ограничена, сначала определяется период. Затем выполняются следующие шаги, чтобы найти получившуюся дробь:

-Числитель - это вычитание между числом (без запятой и каретки) и частью без каретки.

- Знаменатель - это целое число, в котором столько цифр 9, сколько цифр под циркумфлексом, и столько 0, сколько цифр в десятичной части, не находящихся под циркумфлексом.

Давайте проследим эту процедуру, чтобы преобразовать десятичное число 0,428428428… в дробь.

-Сначала определяется период, который представляет собой повторяющуюся последовательность: 428.

-Затем выполняется операция вычитания числа без запятой или акцента: 0428 из части, не имеющей циркумфлекса, которая равна 0. Таким образом, 428 - 0 = 428.

- Знаменатель строится, зная, что под циркумфлексом 3 цифры и все под циркумфлексом. Значит, знаменатель 999.

-Наконец дробь формируется и по возможности упрощается:

0,428 = 428/999

Больше упростить невозможно.

Операции с рациональными числами

- Сложить и вычесть

Дроби с одинаковым знаменателем

Когда дроби имеют одинаковый знаменатель, сложить и / или вычесть их очень легко, потому что числители просто складываются алгебраически, оставляя то же самое, что и слагаемые, в качестве знаменателя результата. Наконец, если возможно, его упрощают.

пример

Выполните следующее алгебраическое сложение и упростите результат:

Получившаяся дробь уже несократима.

Дроби с разными знаменателями

В этом случае слагаемые заменяются эквивалентными дробями с тем же знаменателем, а затем выполняется уже описанная процедура.

пример

Сложите алгебраически следующие рациональные числа, упростив результат:

Шаги следующие:

-Определите наименьшее общее кратное (lcm) знаменателей 5, 8 и 3:

lcm (5,8,3) = 120

Это будет знаменатель получившейся дроби без упрощения.

-Для каждой дроби: разделите НОК на знаменатель и умножьте на числитель. Результат этой операции с соответствующим знаком помещается в числитель дроби. Таким образом получается дробь, эквивалентная исходной, но с НОК в качестве знаменателя.

Например, для первой дроби числитель строится так: (120/5) x 4 = 96 и мы получаем:

Таким же образом поступают и с остальными дробями:

Наконец, заменяются эквивалентные дроби, не забывая их знак, и проводится алгебраическая сумма числителей:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110/120 = -11/12

- Умножение и деление

Умножение и деление выполняются по правилам, показанным ниже:

Рисунок 3. Правила умножения и деления рациональных чисел. Источник: Ф. Сапата.

В любом случае важно помнить, что умножение коммутативно, что означает, что порядок множителей не влияет на произведение. Этого не происходит с делением, поэтому необходимо соблюдать порядок между делимым и делителем.

Пример 1

Проведите следующие операции и упростите результат:

а) (5/3) х (8/15)

б) (-4/5) ÷ (2/9)

отвечать на

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Ответ б

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

Пример 2

У Луизы было 45 долларов. Он потратил десятую часть денег на книгу и 2/5 остатков на футболке. Сколько денег осталось у Луизы? Выразите результат в виде несократимой дроби.

Решение

Стоимость книги (1/10) x 45 $ = 0,1 x 45 $ = 4,5 $

Таким образом, у Луизы остались:

45 - 4.5 $ = 40.5 $

На эти деньги Луиза пошла в магазин одежды и купила рубашку, цена которой:

(2/5) x 40,5 доллара = 16,2 доллара

Сейчас в портфолио Луизы:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Чтобы выразить это в виде дроби, это записывается так:

24,3 = 243/10

Это несводимо.

Ссылки

1. Балдор, А. 1986. Арифметика. Издания и распространения Кодекса.
2. Карена, М. 2019. Учебное пособие по математике. Национальный университет Литорала.
3. Фигера, Дж. 2000. Математика 8. Ediciones Co-Bo.
4. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Прентис Холл.
5. Рациональные числа. Получено с: Cimanet.uoc.edu.
6. Рациональное число. Получено с: webdelprofesor.ula.ve.