ОБРАТНАЯ МАТРИЦА: РАСЧЕТ И РЕШЕННОЕ УПРАЖНЕНИЕ - МАТЕМАТИКА - 2025

Обратная матрица данной матрицы является матрица , которая умножается на оригинале дает единичную матрицу. Обратная матрица полезна для решения систем линейных уравнений, поэтому важно знать, как ее вычислять.

Матрицы очень полезны в физике, инженерии и математике, поскольку они представляют собой компактный инструмент для решения сложных задач. Полезность матриц повышается, если они обратимы, и их обратная величина также известна.

Рис. 1. Показаны стандартная матрица 2 × 2 и ее обратная матрица. (Подготовлено Рикардо Пересом)

В областях графической обработки, больших данных, интеллектуального анализа данных, машинного обучения и других используются эффективные и быстрые алгоритмы для оценки обратной матрицы матриц размера nxn с очень большими n, порядка тысяч или миллионов.

Чтобы проиллюстрировать использование обратной матрицы при работе с системой линейных уравнений, мы начнем с простейшего случая из всех: матрицы 1 × 1.

Самый простой случай: рассматривается линейное уравнение одной переменной: 2 x = 10.

Идея состоит в том, чтобы найти значение x, но это будет сделано «матрицей».

Матрица M = (2), которая умножает вектор (x), является матрицей 1 × 1, которая приводит к вектору (10):

М (х) = (10)

Обращение к матрице M обозначается M ^-1 .

Общий способ записать эту «линейную систему» ​​таков:

MX = B, где X - вектор (x), а B - вектор (10).

По определению, обратная матрица - это матрица, умноженная на исходную матрицу, в результате получается единичная матрица I:

М ^-1 М = Я

В рассматриваемом случае матрица M ^-1 является матрицей (½), то есть M ^-1 = (½), поскольку M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Чтобы найти неизвестный вектор X = (x), в предложенном уравнении оба члена умножаются на обратную матрицу:

М ^-1 М (х) = М ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (х) = (5)

(х) = (5)

Достигнуто равенство двух векторов, которые равны только тогда, когда равны их соответствующие элементы, то есть x = 5.

Вычисление обратной матрицы

Что мотивирует вычисление обратной матрицы, так это поиск универсального метода для решения линейных систем, таких как следующая система 2 × 2:

х - 2 у = 3

-x + y = -2

Следуя шагам случая 1 × 1, изученного в предыдущем разделе, запишем систему уравнений в матричной форме:

Рисунок 2. Линейная система в матричной форме.

Обратите внимание, что эта система записана в компактной векторной записи следующим образом:

MX = B

где

Следующий шаг - найти обратное M.

Метод 1: использование исключения Гаусса

Будет применяться метод исключения Гаусса. Которая состоит из выполнения элементарных операций над строками матрицы, эти операции:

- Умножьте строку на ненулевое число.

- Добавить или вычесть другую строку из строки или кратное из другой строки.

- Поменяйте строки местами.

Цель состоит в том, чтобы с помощью этих операций преобразовать исходную матрицу в единичную матрицу.

При этом в матрице M точно такие же операции применяются к единичной матрице. Когда после нескольких операций над строками M преобразуется в унитарную матрицу, то та, которая изначально была единицей, станет обратной матрицей M, то есть M ^-1 .

1- Мы начинаем процесс с записи матрицы M и рядом с ней единичной матрицы:

2- Мы складываем две строки и помещаем результат во вторую строку, таким образом мы получаем ноль в первом элементе второй строки:

3- Умножаем вторую строку на -1, чтобы получить 0 и 1 во второй строке:

4- Первая строка умножается на ½:

5- Второй и первый складываются, и результат помещается в первую строку:

6- Теперь, чтобы завершить процесс, первая строка умножается на 2, чтобы получить единичную матрицу в первой строке и обратную матрицу исходной матрицы M во второй:

То есть:

Системное решение

После получения обратной матрицы система уравнений решается путем применения обратной матрицы к обоим членам компактного векторного уравнения:

М ^-1 М Х = М ^-1 Б

Х = М ^-1 В

Что явно выглядит так:

Затем выполняется матричное умножение для получения вектора X:

Метод 2: использование прикрепленной матрицы

В этом втором методе обратная матрица вычисляется из присоединенной матрицы исходной матрицы A .

Предположим, что матрица A задана следующим образом:

где _{I, J} представляет собой элемент в строке я и столбца J матрицы A .

Сопряженный к матрице A назовем Adj (A), а его элементами являются:

ad _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

где Ai, J является дополнительным нижняя матрица , полученная за счет устранения строки я и столбца J исходной матрицы A . Столбцы ¦ ¦ показывают, что определитель вычислен, то есть ¦Ai, j¦ - это определитель младшей дополнительной матрицы.

Формула обратной матрицы

Формула для поиска обратной матрицы, начиная с смежной матрицы исходной матрицы, выглядит следующим образом:

Есть, обратная матрица А , А ^-1 , является транспонированная сопряженного А делится на определитель А .

Транспонирование A ^T матрицы A получается заменой строк на столбцы, то есть первая строка становится первым столбцом, а вторая строка становится вторым столбцом и так далее, пока не будут заполнены n строк исходной матрицы.

Упражнение решено

Пусть матрица A будет следующей:

Каждый элемент сопряженной матрицы A вычисляется: Adj (A)

В результате сопряженная матрица A, Adj (A) будет следующей:

Затем вычисляется определитель матрицы A, det (A):

В итоге получается обратная матрица к A:

Ссылки

1. Энтони Николаидес (1994) Детерминанты и матрицы. Пройти публикацию.
2. Авол Ассен (2013) Исследование по вычислению детерминант 3 × 3
3. Кастелейро Вильяльба М. (2004) Введение в линейную алгебру. Редакция ESIC.
4. Дэйв Киркби (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Дженни Олив (1998) Математика: Руководство по выживанию для студентов. Издательство Кембриджского университета.
6. Ричард Дж. Браун (2012) 30-секундная математика: 50 наиболее расширяющих разум теорий в математике. Айви Пресс Лимитед.
7. Матрица. Lap Lambert Academic Publishing.