ЗАКОНЫ ЭКСПОНЕНТОВ (С ПРИМЕРАМИ И РЕШЕННЫМИ УПРАЖНЕНИЯМИ) - МАТЕМАТИКА - 2024

В законы экспонент являются те , которые относятся к этому числу , которое указывает , сколько раз щелочное число должно быть умножено на себя. Показатели также известны как степени. Расширение прав и возможностей - это математическая операция, состоящая из основания (a), показателя степени (m) и степени (b), которая является результатом операции.

Показатели обычно используются, когда используются очень большие величины, потому что это не что иное, как сокращения, которые представляют собой умножение одного и того же числа определенное количество раз. Экспоненты могут быть как положительными, так и отрицательными.

Объяснение законов экспонент

Как указывалось ранее, показатель степени представляет собой сокращенную форму, которая представляет собой многократное умножение чисел на себя, где показатель степени относится только к числу слева. Например:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

В этом случае число 2 является основанием степени, которая будет умножена в 3 раза, как показано показателем степени, расположенным в верхнем правом углу основания. Выражение можно прочитать по-разному: 2 в возведении в 3 или 2 в виде куба.

Показатели также указывают, сколько раз они могут быть разделены, и, чтобы отличить эту операцию от умножения, показатель степени имеет знак минус (-) перед ним (он отрицательный), что означает, что показатель степени находится в знаменателе числа доля. Например:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Это не следует путать со случаем, когда основание отрицательное, так как это будет зависеть от того, является ли показатель нечетным или четным, чтобы определить, будет ли степень положительной или отрицательной. Итак, вам необходимо:

- Если показатель четный, степень будет положительной. Например:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Если показатель нечетный, степень будет отрицательной. Например:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Существует особый случай, в котором, если показатель степени равен 0, степень равна 1. Также существует вероятность, что основание равно 0; в этом случае, в зависимости от экспоненты, степень будет неопределенной или нет.

Чтобы выполнять математические операции с показателями, необходимо следовать нескольким правилам или нормам, которые упрощают поиск решения этих операций.

Первый закон: степень экспоненты равна 1

Когда показатель степени равен 1, результатом будет то же значение основания: a ¹ = a.

Примеры

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Второй закон: степень экспоненты равна 0

Когда показатель степени равен 0, если основание не равно нулю, результат будет: a ⁰ = 1.

Примеры

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Третий закон: отрицательная экспонента

Поскольку экспонента отрицательна, результатом будет дробь, где степень будет знаменателем. Например, если m положительно, то a ^-m = 1 / a ^m .

Примеры

- ^3-1 = 1/3.

- ^6-2 = 1/6 ² = 1/36.

- ^8-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Четвертый закон: умножение степеней с равным основанием

Для умножения степеней, когда основания равны нулю и отличаются от него, основание остается, а показатели добавляются: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Примеры

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Пятый закон: равноправное разделение властей

Чтобы разделить степени, в которых основания равны и отличны от 0, основание сохраняется, а показатели вычитаются следующим образом: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Примеры

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 : ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^{Октябрь} = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^{декабря} / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Шестой закон: умножение степеней с разным основанием

Этот закон противоположен тому, что выражено в четвертом; то есть, если у вас разные основания, но с одинаковыми показателями, основания умножаются, а показатель степени сохраняется: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Примеры

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Другой способ представить этот закон - возвести умножение в степень. Таким образом, показатель степени будет принадлежать каждому из членов: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Примеры

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Закон седьмой: разделение властей по разным основаниям

Если у вас разные основания, но с одинаковыми показателями, разделите основания и сохраните показатель степени: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Примеры

- 30 ³ /2 ³ = (2/30) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴ .

Точно так же, когда деление возводится в степень, показатель степени будет принадлежать каждому из членов: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Примеры

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Есть случай, когда показатель степени отрицательный. Затем, чтобы быть положительным, значение числителя инвертируется со значением знаменателя следующим образом:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Восьмой закон: сила силы

Когда у вас есть степень, которая возводится в другую степень, то есть два показателя одновременно, основание сохраняется, а показатели умножаются: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Примеры

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Девятый закон: дробная экспонента

Если степень имеет дробь в качестве показателя степени, это решается путем преобразования ее в корень n-й степени, где числитель остается показателем степени, а знаменатель представляет собой индекс корня:

пример

Решенные упражнения

Упражнение 1

Рассчитайте операции между державами, имеющими разные основания:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Решение

Применяя правила экспонент, основания умножаются в числителе и экспонента сохраняется, как это:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Теперь, поскольку у нас одни и те же основания, но с разными показателями, основание сохраняется, а показатели вычитаются:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

Упражнение 2.

Вычислите операции между степенями, возведенными в другую степень:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Решение

Применяя законы, вы должны:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46 656

Ссылки

1. Апонте, Г. (1998). Основы базовой математики. Pearson Education.
2. Корбалан, Ф. (1997). Математика в повседневной жизни.
3. Хименес, младший (2009). Математика 1 сен.
4. Макс Петерс, WL (1972). Алгебра и тригонометрия.
5. Рис, ПК (1986). Реверте.