АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ: ЧТО ОНА ИЗУЧАЕТ, ИСТОРИЯ, ПРИЛОЖЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

В аналитической геометрии изучаются линии и геометрические фигуры, применяя основные методы алгебры и математического анализа в данной системе координат.

Следовательно, аналитическая геометрия - это раздел математики, который детально анализирует все данные геометрических фигур, то есть объем, углы, площадь, точки пересечения, расстояния до них и многое другое.

Фундаментальной характеристикой аналитической геометрии является то, что она позволяет представлять геометрические фигуры с помощью формул.

Например, окружности представлены полиномиальными уравнениями второй степени, а линии выражены полиномиальными уравнениями первой степени.

Аналитическая геометрия возникла в семнадцатом веке из-за необходимости дать ответы на проблемы, которые до сих пор не имели решения. Его главными представителями были Рене Декарт и Пьер де Ферма.

Сегодня многие авторы указывают на нее как на революционное творение в истории математики, поскольку она представляет собой начало современной математики.

История аналитической геометрии

Термин аналитическая геометрия возник во Франции в семнадцатом веке из-за необходимости дать ответы на проблемы, которые нельзя было решить с помощью алгебры и геометрии по отдельности, но решение лежало в совместном использовании обоих.

Основные представители аналитической геометрии

В течение XVII века два француза случайно при жизни провели исследования, которые так или иначе закончились созданием аналитической геометрии. Этими людьми были Пьер де Ферма и Рене Декарт.

В настоящее время считается, что создателем аналитической геометрии был Рене Декарт. Это связано с тем, что он опубликовал свою книгу раньше Ферма, а также подробно вместе с Декартом по аналитической геометрии.

Однако и Ферма, и Декарт обнаружили, что линии и геометрические фигуры могут быть выражены уравнениями, а уравнения могут быть выражены линиями или геометрическими фигурами.

Согласно открытиям, сделанным этими двумя, можно сказать, что оба являются создателями аналитической геометрии.

Пьер де Ферма

Пьер де Ферма был французским математиком, который родился в 1601 году и умер в 1665 году. В течение своей жизни он изучал геометрию Евклида, Аполлония и Паппа, чтобы решить проблемы измерения, существовавшие в то время.

Позже эти исследования положили начало созданию геометрии. В конечном итоге они были выражены в его книге «Введение в плоские и твердые места» (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), которая была опубликована через 14 лет после его смерти в 1679 году.

Пьер де Ферма применил аналитическую геометрию к теоремам Аполлония о геометрических местах в 1623 году. Он также был первым, кто применил аналитическую геометрию к трехмерному пространству.

Рене Декарт

Также известный как Картезиус, он был математиком, физиком и философом, родился 31 марта 1596 года во Франции и умер в 1650 году.

Рене Декарт опубликовал в 1637 году свою книгу «Рассуждения о методе правильного ведения разума и поиска истины в науках», более известного как «Метод», и отсюда в мир вошел термин аналитическая геометрия. Одним из его приложений была «Геометрия».

Основные элементы аналитической геометрии

Аналитическая геометрия состоит из следующих элементов:

Декартова система координат

Эта система названа в честь Рене Декарта.

Он не был тем, кто назвал это, и не был тем, кто завершил декартову систему координат, но он был тем, кто говорил о координатах с положительными числами, позволяя будущим ученым завершить ее.

Эта система состоит из прямоугольной системы координат и полярной системы координат.

Прямоугольные системы координат

Прямоугольной системой координат называется плоскость, образованная проведением двух перпендикулярных друг другу числовых линий, где точка отсечки совпадает с общим нулем.

Тогда эта система будет состоять из горизонтальной и вертикальной линий.

Горизонтальная линия - это ось X или ось абсцисс. Вертикальная линия будет осью Y или осью ординат.

Полярная система координат

Эта система отвечает за проверку относительного положения точки по отношению к фиксированной линии и фиксированной точке на линии.

Декартово уравнение прямой

Это уравнение получается из прямой, когда известны две точки, через которые она проходит.

Прямая линия

Это тот, который не отклоняется и поэтому не имеет ни изгибов, ни углов.

Коники

Это кривые, определяемые линиями, проходящими через фиксированную точку, и точками кривой.

Эллипс, окружность, парабола и гипербола - конические кривые. Каждый из них описан ниже.

Длина окружности

Окружность называется замкнутой плоской кривой, которая образована всеми точками плоскости, которые равноудалены от внутренней точки, то есть от центра окружности.

Притча

Это геометрическое место точек на плоскости, которые равноудалены от фиксированной точки (фокуса) и фиксированной линии (директрисы). Итак, директриса и фокус определяют параболу.

Парабола может быть получена как сечение конической поверхности вращения через плоскость, параллельную образующей.

Эллипс

Замкнутая кривая, описывающая точку при движении в плоскости, называется эллипсом, так что сумма ее расстояний до двух (2) фиксированных точек (называемых фокусами) постоянна.

гипербола

Гиперболой называется кривая, определяемая как геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний между двумя фиксированными точками (фокусами) постоянна.

Гипербола имеет ось симметрии, проходящую через фокусы, называемую фокусной осью. У него также есть еще один, который является биссектрисой отрезка, на концах которого есть неподвижные точки.

Приложения

Существует множество приложений аналитической геометрии в различных областях повседневной жизни. Например, мы можем найти параболу, один из фундаментальных элементов аналитической геометрии, во многих инструментах, которые сегодня используются ежедневно. Вот некоторые из этих инструментов:

Спутниковая тарелка

Параболические антенны имеют отражатель, образующийся в результате параболы, вращающейся вокруг оси упомянутой антенны. Поверхность, которая образуется в результате этого действия, называется параболоидом.

Эта способность параболоида называется оптическим свойством или свойством отражения параболы, и благодаря этому параболоид может отражать электромагнитные волны, которые он получает от питающего механизма, составляющего антенну.

Подвесные мосты

Когда веревка поддерживает вес, который является однородным, но в то же время значительно больше веса самой веревки, результатом будет парабола.

Этот принцип является основополагающим при строительстве подвесных мостов, которые обычно поддерживаются широкими стальными вантовыми конструкциями.

Принцип притчи о висячих мостах был использован в таких сооружениях, как мост Золотые Ворота, расположенный в городе Сан-Франциско, в США, или Большой мост через пролив Акаси, который находится в Японии и соединяет остров Авадзи с Хонсю, главным островом этой страны.

Астрономический анализ

Аналитическая геометрия также нашла очень конкретное и решающее применение в области астрономии. В этом случае центральным элементом аналитической геометрии является эллипс; Это отражает закон движения планет Иоганна Кеплера.

Кеплер, немецкий математик и астроном, определил, что эллипс - это кривая, которая лучше всего соответствует движению Марса; Ранее он тестировал круговую модель, предложенную Коперником, но в ходе своих экспериментов он пришел к выводу, что эллипс служит для рисования орбиты, совершенно аналогичной орбите планеты, которую он изучал.

Благодаря эллипсу Кеплер смог подтвердить, что планеты движутся по эллиптическим орбитам; это соображение было утверждением так называемого второго закона Кеплера.

Благодаря этому открытию, позднее обогащенному английским физиком и математиком Исааком Ньютоном, стало возможным изучать орбитальные движения планет и расширить знания о вселенной, частью которой мы являемся.

Телескоп Кассегрена

Телескоп Кассегрена назван в честь его изобретателя, физика французского происхождения Лорана Кассегрена. В этом телескопе используются принципы аналитической геометрии, поскольку он в основном состоит из двух зеркал: первое - вогнутое и параболическое, а второе - выпуклое и гиперболическое.

Расположение и характер этих зеркал позволяют избежать дефекта, известного как сферическая аберрация; Этот дефект предотвращает отражение световых лучей в фокусе данной линзы.

Телескоп Кассегрена очень полезен для наблюдения за планетами, а также является довольно универсальным и простым в использовании.

Ссылки

1. Аналитическая геометрия. Получено 20 октября 2017 г. с сайта britannica.com.
2. Аналитическая геометрия. Получено 20 октября 2017 г. с сайта encyclopediafmath.org.
3. Аналитическая геометрия. Получено 20 октября 2017 г. с сайта khancademy.org.
4. Аналитическая геометрия. Получено 20 октября 2017 г. с сайта wikipedia.org.
5. Аналитическая геометрия. Получено 20 октября 2017 г. с сайта whitman.edu.
6. Аналитическая геометрия. Получено 20 октября 2017 г. с сайта stewartcalculus.com.
7. Плоская аналитическая геометрия. Проверено 20 октября, 2017.