ФАКТОРИНГ: МЕТОДЫ И ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2024

Разложение представляет собой способ , с помощью которого полином выражается как умножение факторов, которые могут быть цифры или буквы , или обоих. Чтобы разложить множители, общие для членов, группируются вместе, и таким образом многочлен разбивается на несколько многочленов.

Таким образом, когда множители перемножаются, в результате получается исходный многочлен. Факторинг - очень полезный метод, когда у вас есть алгебраические выражения, потому что его можно преобразовать в умножение нескольких простых терминов; например: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Есть случаи, когда многочлен не может быть разложен на множители, потому что между его членами нет общего множителя; таким образом, эти алгебраические выражения делятся только сами на себя и на 1. Например: x + y + z.

В алгебраическом выражении общий фактор - это наибольший общий делитель составляющих его членов.

Методы факторинга

Существует несколько методов факторинга, которые применяются в зависимости от случая. Вот некоторые из них:

Факторинг по общему фактору

В этом методе идентифицируются общие факторы; то есть те, которые повторяются в терминах выражения. Затем применяется свойство распределительности, берется наибольший общий делитель и факторизация завершается.

Другими словами, определяется общий фактор выражения, и каждый термин делится на него; Полученные члены будут умножены на наибольший общий делитель, чтобы выразить факторизацию.

Пример 1

Множитель (b ² x) + (b ² y).

Решение

Сначала вы находите общий множитель каждого члена, который в данном случае равен b ² , а затем делите члены на общий множитель следующим образом:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Факторизация выражается умножением общего множителя на полученные члены:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Пример 2

Множитель (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Решение

В этом случае у нас есть два фактора, которые повторяются в каждом члене: «a» и «b», возведенные в степень. Чтобы разложить их на множители, сначала нужно разложить два члена на их полную форму:

2 _* а _* а _* б _* б _* б + 3а _* б _* б

Видно, что фактор «а» повторяется только один раз во втором члене, а фактор «b» повторяется дважды в этом; таким образом, в первом члене остается только 2: фактор «а» и фактор «б»; а во втором члене осталось только 3.

Таким образом, время повторения «a» и «b» записывается и умножается на оставшиеся коэффициенты каждого члена, как показано на изображении:

Группирующий факторинг

Поскольку не во всех случаях наибольший общий делитель многочлена четко выражен, необходимо выполнить другие шаги, чтобы иметь возможность переписать многочлен и, следовательно, множитель.

Один из этих шагов - сгруппировать члены многочлена в несколько групп, а затем использовать метод общих множителей.

Пример 1

Фактор ac + bc + ad + bd.

Решение

Есть 4 фактора, два из которых являются общими: в первом слагаемом это «c», а во втором - «d». Таким образом, два термина сгруппированы и разделены:

(ac + bc) + (ad + bd).

Теперь можно применить метод общего множителя, разделив каждый член на его общий множитель, а затем умножив этот общий множитель на полученные члены, например:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

с (а + б) + г (а + б).

Теперь мы получаем бином, общий для обоих терминов. Чтобы разложить его на множители, он умножается на оставшиеся коэффициенты; таким образом вы должны:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Инспекционный факторинг

Этот метод используется для разложения квадратичных многочленов, также называемых трехчленами; то есть те, которые имеют структуру ax ² ± bx + c, где значение «a» отличается от 1. Этот метод также используется, когда трехчлен имеет форму x ² ± bx + c и значение «a» = 1.

Пример 1

Множитель x ² + 5x + 6.

Решение

У нас есть квадратный трехчлен вида x ² ± bx + c. Чтобы разложить его на множители, вы должны сначала найти два числа, которые при умножении дают в результате значение «c» (то есть 6) и что их сумма равна коэффициенту «b», который равен 5. Это числа 2 и 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Таким образом, выражение упрощается так:

(х ² + 2х) + (3х + 6)

Факторизуется каждый член:

- Для (x ² + 2x) взят общий член: x (x + 2)

- Для (3x + 6) = 3 (x + 2)

Таким образом, выражение:

х (х +2) + 3 (х +2).

Поскольку у нас есть общий бином, чтобы уменьшить выражение, мы умножаем его на оставшиеся члены и должны:

х ² + 5х + 6 = (х + 2) _* (х + 3).

Пример 2

Множитель 4a ² + 12a + 9 = 0.

Решение

У нас есть квадратный трехчлен вида ax ² ± bx + cy, чтобы разложить его на множители, умножить все выражение на коэффициент при x ² ; в этом случае 4.

4а ² + 12а +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 а ² + 12а (4) + 36 = 0

4 ² а ² + 12 а (4) + 36 = 0

Теперь мы должны найти два числа, которые при умножении друг на друга дают в результате значение «с» (которое равно 36), а при сложении они дают в результате коэффициент члена «а», равный 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Таким образом выражение переписывается с учетом того, что 4 ² a ² = 4a _* 4a. Следовательно, свойство распределения применяется для каждого термина:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Наконец, выражение делится на коэффициент ² ; то есть 4:

(4-й + 6) _* (4-й + 6) / 4 = ((4-й + 6) / 2) _* ((4-й + 6) / 2).

Выражение выглядит следующим образом:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Факторинг с известными продуктами

Бывают случаи, когда полное разложение многочленов описанными выше методами становится очень долгим процессом.

Вот почему можно разработать выражение с формулами замечательных продуктов, и, таким образом, процесс станет проще. Среди наиболее широко используемых известных продуктов:

- Разница двух квадратов: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Полный квадрат суммы: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Полный квадрат разности: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Разница двух кубиков: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Сумма двух кубиков: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Пример 1

Фактор (5 ² - x ² )

Решение

В этом случае разница в два квадрата; поэтому применяется замечательная формула продукта:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - х ² ) = (5 - х) _* (5 + х)

Пример 2

Множитель 16x ² + 40x + 25 ²

Решение

В этом случае у вас есть точный квадрат суммы, потому что вы можете идентифицировать два члена, возведенные в квадрат, а оставшийся член является результатом умножения двух на квадратный корень из первого члена и на квадратный корень из второго члена.

а ² + 2ab + б ² = (а + б) ²

Чтобы разложить на множители только квадратные корни из первого и третьего членов, вычисляются:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Затем два полученных члена выражаются через знак операции, и весь полином возводится в квадрат:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Пример 3

Фактор 27a ³ - b ³

Решение

Выражение представляет собой вычитание, в котором два множителя помещены в куб. Чтобы разложить их на множители, применяется формула заметного произведения разности кубиков, которая выглядит следующим образом:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

Таким образом, для факторизации берется кубический корень каждого члена бинома и умножается на квадрат первого члена, плюс произведение первого члена на второй член, плюс возведение второго члена в квадрат.

27а ³ - б ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Факторинг с правилом Руффини

Этот метод используется, когда у вас есть многочлен степени больше двух, чтобы упростить выражение до нескольких многочленов меньшей степени.

Пример 1

Множитель Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Решение

Сначала мы ищем числа, которые делят 12, что является независимым членом; Это ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Затем x заменяется этими значениями, от наименьшего к наибольшему, и, таким образом, определяется, с каким из значений деление будет точным; то есть остаток должен быть 0:

х = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

х = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 0.

х = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

И так для каждого делителя. В этом случае найденные факторы относятся к x = -1 и x = 2.

Теперь применяется метод Руффини, согласно которому коэффициенты выражения будут разделены на найденные множители, чтобы деление было точным. Члены полинома упорядочены от старшего к младшему показателю; в случае, если в последовательности отсутствует член следующей степени, на его место ставится 0.

Коэффициенты расположены в схеме, как показано на следующем изображении.

Первый коэффициент понижается и умножается на делитель. В этом случае первый делитель равен -1, а результат помещается в следующий столбец. Затем значение коэффициента с полученным результатом складывается по вертикали и результат помещается ниже. Таким образом процесс повторяется до последнего столбца.

Затем та же процедура повторяется снова, но со вторым делителем (равным 2), потому что выражение все еще можно упростить.

Таким образом, для каждого полученного корня многочлен будет иметь член (x - a), где "a" - значение корня:

(х - (-1)) _* (х - 2) = (х + 1) _* (х - 2)

С другой стороны, эти члены должны быть умножены на оставшуюся часть правила Руффини 1: 1 и -6, которые являются множителями, представляющими градус. Таким образом формируется выражение: (x ² + x - 6).

Получение результата факторизации полинома методом Руффини:

х ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Наконец, многочлен степени 2, фигурирующий в предыдущем выражении, можно переписать как (x + 3) (x-2). Таким образом, окончательная факторизация:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Ссылки

1. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитической геометрией. Pearson Education.
2. Дж. В. (2014). Как научить детей разложению полинома на множители.
3. Мануэль Морилло, AS (SF). Основы математики с приложениями.
4. Roelse, PL (1997). Линейные методы факторизации полиномов над конечными полями: теория и реализации. Universität Essen.
5. Шарп, Д. (1987). Кольца и факторизация.