Аддитивное разложение положительного целого числа состоит из его выражения в виде суммы двух или более положительных целых чисел. Таким образом, мы имеем, что число 5 может быть выражено как 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 или 5 = 1 + 2 + 2. Каждый из этих способов записи числа 5 - это то, что мы будем называть аддитивным разложением.

Если мы обратим внимание, то увидим, что выражения 5 = 2 + 3 и 5 = 3 + 2 представляют одну и ту же композицию; у них обоих одинаковые номера. Однако для удобства каждое из дополнений обычно пишется по критерию от низшего к высшему.

Аддитивное разложение

В качестве другого примера мы можем взять число 27, которое мы можем выразить как:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Аддитивная декомпозиция - очень полезный инструмент, который позволяет нам укрепить наши знания о системах нумерации.

Каноническое аддитивное разложение

Когда у нас есть числа с более чем двумя цифрами, особый способ разложить их на числа, кратные 10, 100, 1000, 10 000 и т. Д., Которые составляют его. Такой способ записи любого числа называется каноническим аддитивным разложением. Например, число 1456 можно разложить следующим образом:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Если у нас есть число 20 846 295, его каноническое аддитивное разложение будет:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Благодаря этому разложению мы можем видеть, что значение данной цифры определяется позицией, которую она занимает. Возьмем для примера числа 24 и 42:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Здесь мы можем видеть, что в 24 2 имеет значение 20 единиц, а 4 - значение 4 единицы; с другой стороны, в 42 4 имеет значение 40 единиц, а 2 - двух единиц. Таким образом, хотя оба числа используют одни и те же цифры, их значения полностью различаются из-за позиции, которую они занимают.

Приложения

Одно из приложений, которое мы можем дать аддитивной декомпозиции, - это определенные типы доказательств, в которых очень полезно рассматривать положительное целое число как сумму других.

Пример теоремы

Возьмем в качестве примера следующую теорему с соответствующими доказательствами.

- Пусть Z будет 4-значным целым числом, тогда Z делится на 5, если его соответствующая цифра для единиц равна нулю или пяти.

демонстрация

Вспомним, что такое делимость. Если у нас есть целые числа «a» и «b», мы говорим, что «a» делит «b», если существует целое число «c» такое, что b = a * c.

Одно из свойств делимости говорит нам, что если «a» и «b» делятся на «c», то вычитание «ab» также делимо.

Пусть Z будет 4-значным целым числом; поэтому мы можем записать Z как Z = ABCD.

Используя каноническое аддитивное разложение, мы имеем:

Z = А * 1000 + В * 100 + С * 10 + D

Ясно, что A * 1000 + B * 100 + C * 10 делится на 5. Для этого мы имеем, что Z делится на 5, если Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) делится на 5.

Но Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D, а D - однозначное число, поэтому единственный способ делить его на 5 - это быть 0 или 5.

Следовательно, Z делится на 5, если D = 0 или D = 5.

Обратите внимание, что если Z имеет n цифр, доказательство в точности такое же, только меняется: теперь мы будем писать Z = A ₁ A ₂ … A _n, и цель будет заключаться в том, чтобы доказать, что A _n равно нулю или пяти.

Перегородки

Мы говорим, что разбиение положительного целого числа - это один из способов записать число как сумму положительных целых чисел.

Разница между аддитивной декомпозицией и разбиением состоит в том, что в то время как первая стремится, чтобы, по крайней мере, ее можно было разбить на два слагаемых или более, раздел не имеет этого ограничения.

Таким образом, мы имеем следующее:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Выше приведены разделы 5.

То есть мы имеем, что каждое аддитивное разложение является разбиением, но не каждое разбиение обязательно является аддитивным разложением.

В теории чисел основная теорема арифметики гарантирует, что каждое целое число может быть однозначно записано как произведение простых чисел.

При изучении разбиений цель состоит в том, чтобы определить, сколькими способами можно записать положительное целое число как сумму других целых чисел. Поэтому мы определяем статистическую сумму, как показано ниже.

Определение

Статистическая сумма p (n) определяется как количество способов, которыми положительное целое число n может быть записано как сумма положительных целых чисел.

Возвращаясь к примеру 5, мы имеем следующее:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Таким образом, p (5) = 7.

Графика

И разбиения, и аддитивные разложения числа n можно представить геометрически. Предположим, у нас есть аддитивное разложение n. В этом разложении слагаемые можно расположить так, чтобы элементы суммы были упорядочены от наименьшего к наибольшему. Так хорошо:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r с

а ₁ ≤ а ₂ ≤ а ₃ ≤… ≤ а _р .

Мы можем изобразить это разложение следующим образом: в первой строке мы отмечаем ₁ -точку, затем в следующей мы отмечаем ₂ -точки и так далее, пока не дойдем до _r .

Возьмем, к примеру, число 23 и его следующее разложение:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Заказываем это разложение и имеем:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Соответствующий ему график будет: