ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ (С РЕШЕННЫМИ УПРАЖНЕНИЯМИ) - МАТЕМАТИКА - 2026

Эти последовательные производные являются те , которые получены от одной функции после того, как второй производной. Процесс вычисления последовательных производных следующий: у нас есть функция f, которую мы можем вывести и, таким образом, получить производную функцию f '. Мы можем снова вывести эту производную от f, получив (f ')'.

Эта новая функция называется второй производной; все производные, рассчитанные от второй, являются последовательными; Они, также называемые высшим порядком, имеют большие приложения, такие как предоставление информации о графике графика функции, проверка второй производной на относительные экстремумы и определение бесконечных рядов.

Определение

Используя обозначения Лейбница, мы получаем, что производная функции «y» по «x» равна dy / dx. Чтобы выразить вторую производную от «y» в обозначениях Лейбница, запишем следующее:

В общем, мы можем выразить последовательные производные следующим образом в обозначениях Лейбница, где n представляет порядок производной.

Другие используемые обозначения следующие:

Вот несколько примеров, где мы можем увидеть разные обозначения:

Пример 1

Получите все производные функции f, определенной следующим образом:

Используя обычные методы вывода, мы получаем, что производная f равна:

Повторяя процесс, мы можем получить вторую производную, третью производную и так далее.

Обратите внимание, что четвертая производная равна нулю, а производная нуля равна нулю, поэтому мы имеем:

Пример 2

Вычислите четвертую производную следующей функции:

Получив заданную функцию, мы имеем в результате:

Скорость и ускорение

Одним из мотивов, которые привели к открытию производной, был поиск определения мгновенной скорости. Формальное определение выглядит следующим образом:

Пусть y = f (t) - функция, график которой описывает траекторию частицы в момент времени t, тогда ее скорость в момент времени t определяется выражением:

Как только скорость частицы получена, мы можем вычислить мгновенное ускорение, которое определяется следующим образом:

Мгновенное ускорение частицы, путь которой задается выражением y = f (t), равно:

Пример 1

Частица движется по линии согласно функции положения:

Где «y» измеряется в метрах, а «t» - в секундах.

- В какой момент его скорость равна 0?

- В какой момент его ускорение равно 0?

При выводе функции положения «и» мы получаем, что его скорость и ускорение соответственно выражаются:

Чтобы ответить на первый вопрос, достаточно определить, когда функция v обращается в ноль; это:

Аналогичным образом поступим и к следующему вопросу:

Пример 2

Частица движется по прямой согласно следующему уравнению движения:

Определите «t, y» и «v», когда a = 0.

Зная, что скорость и ускорение задаются

Приступаем к выводу и получаем:

Делая a = 0, имеем:

Отсюда мы можем вывести, что значение t для a, равного нулю, равно t = 1.

Затем, оценивая функцию положения и функцию скорости при t = 1, мы имеем:

Приложения

Явный вывод

Последовательные производные также могут быть получены неявным выводом.

пример

Учитывая следующий эллипс, найдите "y":

Неявно производя по x, мы имеем:

Тогда неявное повторное вычисление по x дает нам:

Наконец, у нас есть:

Относительные крайности

Другое использование, которое мы можем дать производным второго порядка, - это вычисление относительных экстремумов функции.

Критерий первой производной для локальных экстремумов говорит нам, что если у нас есть непрерывная функция f на интервале (a, b) и существует c, принадлежащая указанному интервалу, такая, что f 'обращается в нуль в c (то есть, что c является критической точкой) может произойти один из трех случаев:

- Если f´ (x)> 0 для любого x, принадлежащего (a, c), и f´ (x) <0 для x, принадлежащего (c, b), то f (c) является локальным максимумом.

- Если f´ (x) <0 для любого x, принадлежащего (a, c), и f´ (x)> 0 для x, принадлежащего (c, b), то f (c) является локальным минимумом.

- Если f´ (x) имеет одинаковый знак в (a, c) и в (c, b), это означает, что f (c) не является локальным экстремумом.

Используя критерий второй производной, мы можем узнать, является ли критическое число функции локальным максимумом или минимумом, без необходимости видеть знак функции в вышеупомянутых интервалах.

Критерий второго смещения говорит нам, что если f´´ (c) = 0 и что f´´ (x) непрерывно в (a, b), то бывает, что если f´´ (c)> 0, то f (c) является локальным минимумом, и если f´´ (c) <0, то f (c) является локальным максимумом.

Если f´´ (c) = 0, мы не можем ничего сделать.

пример

Учитывая функцию f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , найдите относительные максимумы и минимумы f, используя критерий второй производной.

Сначала мы вычисляем f´ (x) и f´´ (x), и мы имеем:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Теперь f´ (x) = 0, если и только если 4x (x + 2) (x - 1) = 0, а это происходит, когда x = 0, x = 1 или x = - 2.

Чтобы определить, являются ли полученные критические числа относительными крайностями, достаточно оценить при f´´ и, таким образом, наблюдать его знак.

f´´ (0) = - 8, поэтому f (0) - локальный максимум.

f´´ (1) = 12, поэтому f (1) является локальным минимумом.

f´´ (- 2) = 24, поэтому f (- 2) является локальным минимумом.

Серия Тейлор

Пусть f - функция, определенная следующим образом:

Эта функция имеет радиус сходимости R> 0 и производные всех порядков в (-R, R). Последовательные производные от f дают нам:

Взяв x = 0, мы можем получить значения c _n как функцию их производных следующим образом:

Если мы возьмем an = 0 в качестве функции f (то есть f ^ 0 = f), то мы можем переписать функцию следующим образом:

Теперь давайте рассмотрим функцию как серию степеней при x = a:

Если мы проведем анализ, аналогичный предыдущему, мы могли бы записать функцию f как:

Эти серии известны как серии Тейлора от f до a. Когда a = 0, мы имеем частный случай, называемый рядом Маклорена. Этот тип рядов имеет большое математическое значение, особенно для численного анализа, поскольку благодаря им мы можем определять функции в компьютерах, такие как e ^x , sin (x) и cos (x).

пример

Получите серию Маклорена для e ^x .

Обратите внимание, что если f (x) = e ^x , то f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x и f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, поэтому его ряд Маклорена:

Ссылки

1. Фрэнк Эйрес, Дж., И Мендельсон, Э. (nd). Расчет 5ед. Мак Гроу Хилл.
2. Лейтольд, Л. (1992). Расчет с аналитической геометрией. HARLA, SA
3. Перселл, Э.Дж., Варберг, Д., и Ригдон, С.Е. (2007). Расчет. Мексика: Pearson Education.
4. Саенс Дж. (2005). Дифференциальное исчисление. Гипотенузы.
5. Саенс, Дж. (Nd). Интегральное исчисление. Гипотенузы.