ЭКСЦЕСС: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ВИДЫ, ФОРМУЛЫ, ДЛЯ ЧЕГО ЭТО, НАПРИМЕР - ДУДАС - 2026

Эксцесса или Эксцесс представляет собой статистический параметр , используемый для характеристики распределения вероятностей случайной величины, что указывает на степень концентрации значений вокруг центральной меры. Это также известно как «пиковая оценка».

Этот термин происходит от греческого «kurtos», что означает «арочный», поэтому эксцесс указывает на степень заострения или сглаживания распределения, как показано на следующем рисунке:

Рисунок 1. Различные типы эксцесса. Источник: Ф. Сапата.

Почти все значения случайной величины имеют тенденцию группироваться вокруг центрального значения, такого как среднее. Но в некоторых распределениях значения более разбросаны, чем в других, что приводит к более пологим или более тонким кривым.

Определение

Эксцесс - это числовое значение, типичное для каждого частотного распределения, которое в зависимости от концентрации значений вокруг среднего значения классифицируется на три группы:

- Leptokurtic: значения сильно сгруппированы вокруг среднего, поэтому распределение довольно резкое и тонкое (рис. 1, слева).

- Mesocúrtic: он имеет умеренную концентрацию значений около среднего (цифра 1 в центре).

- Platicúrtica: это распределение имеет более широкую форму, поскольку значения имеют тенденцию быть более разбросанными (цифра 1 справа).

Формулы и уравнения

Эксцесс может иметь любое значение без ограничений. Его расчет выполняется в зависимости от способа доставки данных. В каждом случае используются следующие обозначения:

-Коэффициент эксцесса: г ₂

-Среднее арифметическое: X или x с полосой

-I-е значение: x _i

-Стандартное отклонение: σ

-Количество данных: N

-Частота i-го значения: f _i

-Класс бренда: mx _i

В этих обозначениях мы представляем некоторые из наиболее часто используемых формул для поиска эксцесса:

- эксцесс согласно представлению данных

Данные не сгруппированы или сгруппированы по частотам

Данные сгруппированы по интервалам

Чрезмерный эксцесс

Также называемый коэффициентом таргетинга Фишера или мерой Фишера, он используется для сравнения изучаемого распределения с нормальным распределением.

Когда избыточный эксцесс равен 0, мы находимся в присутствии нормального распределения или гауссова колокола. Таким образом, всякий раз, когда вычисляется избыточный эксцесс распределения, мы фактически сравниваем его с нормальным распределением.

Как для разгруппированных, так и для объединенных данных коэффициент наведения Фишера, обозначенный буквой K, равен:

К = г ₂ - 3

Теперь можно показать, что эксцесс нормального распределения равен 3, следовательно, если целевой коэффициент Фишера равен 0 или близок к 0, и существует мезокуртическое распределение. Если K> 0, то распределение лептокуртическое, а если K <0, то платикуртическое.

Для чего нужен эксцесс?

Эксцесс - это мера изменчивости, используемая для характеристики морфологии распределения. Таким образом, симметричные распределения можно сравнивать с одним и тем же средним значением и одинаковой дисперсией (заданной стандартным отклонением).

Наличие показателей изменчивости гарантирует надежность средних значений и помогает контролировать вариации в распределении. В качестве примера рассмотрим эти две ситуации.

Заработная плата 3-х отделов

Предположим, что следующий график показывает распределение заработной платы в 3 отделах одной компании:

Рисунок 2. Три распределения с различным эксцессом иллюстрируют практические ситуации. (Подготовлено Фанни Сапата)

Кривая А является самой тонкой из всех, и по ее форме можно сделать вывод, что большинство зарплат в этом отделе очень близко к среднему, поэтому большинство сотрудников получают аналогичное вознаграждение.

В свою очередь, в отделе B кривая заработной платы следует нормальному распределению, поскольку кривая мезокуртична, и мы предполагаем, что заработная плата распределялась случайным образом.

И, наконец, кривая C очень пологая, что свидетельствует о том, что в этом отделе диапазон заработной платы намного шире, чем в других.

Результаты экзамена

Теперь предположим, что три кривые на рисунке 2 представляют результаты экзамена, примененного к трем группам студентов одного и того же предмета.

Группа, рейтинги которой представлены лептокуртической кривой А, достаточно однородна, большинство получило среднюю или близкую оценку.

Также возможно, что результат был обусловлен тем, что вопросы теста имели более или менее одинаковую степень сложности.

С другой стороны, результаты группы C указывают на большую неоднородность в группе, которая, вероятно, состоит из средних студентов, некоторых более продвинутых студентов и, конечно же, таких же менее внимательных.

Или это может означать, что вопросы теста имеют очень разную степень сложности.

Кривая B является мезокутической, что свидетельствует о нормальном распределении результатов теста. Обычно это наиболее частый случай.

Рабочий пример эксцесса

Найдите балльный коэффициент Фишера для следующих оценок, полученных на экзамене по физике для группы студентов, по шкале от 1 до 10:

Решение

Следующее выражение будет использоваться для несгруппированных данных, указанных в предыдущих разделах:

К = г ₂ - 3

Это значение позволяет узнать тип распределения.

Для вычисления g ₂ удобно делать это по порядку, шаг за шагом, так как необходимо решить несколько арифметических операций.

Шаг 1

Сначала рассчитывается среднее значение оценок. Имеется N = 11 данных.

Шаг 2

Найдено стандартное отклонение, для которого используется это уравнение:

σ = 1,992

Или вы также можете построить таблицу, которая также потребуется для следующего шага, и в которой записан каждый член суммирования, которое будет необходимо, начиная с (x _i - X), затем (x _i - X) ² а затем (x _i - X) ⁴ :

Шаг 3

Выполните сумму, указанную в числителе формулы для g ₂ . Для этого используется результат правого столбца предыдущей таблицы:

∑ (х _я - Х) ⁴ = 290,15

Таким образом:

г ₂ = (1/11) х 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,675

Коэффициент наведения Фишера:

K = g ₂ - 3 = 1,675 - 3 = -1,325

Интересен знак результата, который, будучи отрицательным, соответствует платикуртическому распределению, которое можно интерпретировать, как это было сделано в предыдущем примере: возможно, это неоднородный курс со студентами разной степени интереса или экзаменационные вопросы были разного уровня сложности.

Использование электронной таблицы, такой как Excel, значительно облегчает решение этих типов проблем, а также предлагает возможность графического представления распределения.

Ссылки

1. Левин, Р. 1988. Статистика для администраторов. Второй. Издание. Прентис Холл.
2. Марко, Ф. Куртозис. Получено с :conomipedia.com.
3. Олива, Дж. Асимметрия и эксцесс. Получено с: statisticaucv.files.wordpress.com.
4. Спурр, W. 1982. Принятие решений в управлении. Limusa.
5. Wikipedia. Эксцесс. Получено с: en.wikipedia.org.