ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ: ПРИМЕРЫ И РЕШАЕМЫЕ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Эти прямоугольные координаты или декартовой являются те , которые получены на ортогонально выступающими из трех декартовых осей X, Y, Z , точка расположена в трех - мерном пространстве.

Декартовы оси - это взаимно ориентированные линии, перпендикулярные друг другу. В декартовой системе координат каждой точке пространства присвоены три действительных числа, которые являются ее прямоугольными координатами.

Рисунок 1. Прямоугольные координаты точки P (Собственная разработка)

Плоскость - это подпространство трехмерного пространства. Если рассматривать точки на плоскости, то в качестве декартовой системы достаточно выбрать пару перпендикулярных осей X, Y. Затем каждой точке на плоскости присваиваются два действительных числа, которые являются ее прямоугольными координатами.

Начало прямоугольных координат

Прямоугольные координаты были первоначально предложены французским математиком Рене Декартом (1596 и 1650), поэтому они и называются декартовыми.

Согласно этой идее Декарта, точкам на плоскости и пространстве присваиваются номера, так что геометрические фигуры имеют связанное алгебраическое уравнение, и классические геометрические теоремы могут быть доказаны алгебраически. С декартовыми координатами рождается аналитическая геометрия.

Декартова плоскость

Если на плоскости выбраны две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O; и если, кроме того, каждой прямой присваивается направление и числовая шкала между последовательными эквидистантными точками, тогда существует декартова система или плоскость, в которой каждая точка плоскости связана с упорядоченной парой двух действительных чисел, которые являются их проекциями соответственно на оси X и Y.

Точки A = (3, 2); В = (- 2, 3); C = (- 2, -3) и D = (3, -3) представлены в декартовой плоскости, как показано ниже:

Рисунок 2. Точки в декартовой плоскости. (Собственная разработка)

Обратите внимание, что две оси X и Y делят плоскость на четыре сектора, называемых квадрантами. Точка A находится в первом квадранте, точка B - во втором квадранте, точка C - в третьем квадранте, а точка D - в четвертом квадранте.

Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками A и B на декартовой плоскости - это длина соединяющего их отрезка. Это расстояние можно рассчитать аналитически следующим образом:

d (A, B) = √ (Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2)

Приведенная выше формула получается путем применения теоремы Пифагора.

Применяя эту формулу к точкам A, B на рисунке 2, получаем:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

То есть d (A, B) = 5,10 единиц. Обратите внимание, что расстояние было получено без необходимости измерения линейкой, при этом была соблюдена полностью алгебраическая процедура.

Аналитическое выражение линии

Прямоугольные координаты позволяют аналитически представлять основные геометрические объекты, такие как точка и линия. Две точки A и B определяют одну линию. Наклон линии определяется как частное между разностью координат Y точки B минус A, деленной на разность координат X точки B минус A:

наклон = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Любая точка P с координатами (x, y), принадлежащая прямой (AB), должна иметь одинаковый наклон:

наклон = (y - Ay) / (x - Ax)

Уравнение, полученное через равенство наклонов, является аналитическим или алгебраическим представлением прямой, проходящей через точки A и B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Если мы возьмем в качестве A и B прямоугольные координаты рисунка 2, мы получим:

(у - 2) / (х - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(у - 2) / (х - 3) =-

В этом конкретном случае у нас есть линия с отрицательным наклоном -⅕, что означает, что при нахождении в точке на линии и увеличении координаты x на одну единицу координата y уменьшается на 0,2 единицы.

Самый распространенный способ записать уравнение прямой на плоскости - очистить координату y как функцию переменной x:

у = - (1/5) х + 13/5

Примеры

Пример 1

Получите аналитическими методами расстояние между точками C и A, являющееся прямоугольными координатами C = (-2, -3) и A = (3,2).

Формула евклидова расстояния между этими двумя точками записывается так:

d (A, C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Подставляя их соответствующие прямоугольные координаты, получаем:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3-2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

Пример 2

Получите уравнение прямой, проходящей через точку C с координатами (-2, -3) и точку P с координатами (2, 0).

Сначала получается наклон линии CP:

наклон = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Любая точка Q общих прямоугольных координат (x, y), принадлежащая прямой CP, должна иметь одинаковый наклон:

наклон = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Другими словами, уравнение линии CP:

(у +3) / (х +2) = ¾

Альтернативный способ записать уравнение линии CP - это решение относительно y:

у = ¾ х - 3/2

Решенные упражнения

Упражнение 1

Получите прямоугольные координаты точки пересечения прямых y = - (1/5) x + 13/5 и прямой y = ¾ x - 3/2.

Решение: По определению, точки пересечения двух линий имеют одинаковые прямоугольные координаты. Следовательно, y-координаты в точке пересечения идентичны для обеих линий:

- (1/5) х + 13/5 = ¾ х - 3/2

что приводит к следующему выражению:

(¾ + ⅕) х = 13/5 +3/2

решая сумму дробей, получаем:

19/20 х = 41/10

Решение для x:

х = 82/19 = 4,32

Чтобы получить значение y пересечения, полученное значение x подставляется в любую из строк:

у = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Это означает, что данные прямые пересекаются в точке I с координатами I = (4.32, 1.74).

Упражнение 2.

Получите уравнение окружности, которая проходит через точку R прямоугольных координат (3, 4) и имеет центр в начале координат.

Решение: Радиус R - это расстояние от точки R до начала O координат (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3-0) ^ 2 + (4-0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

То есть это круг радиуса 5 с центром в точке (0,0).

Любая точка P (x, y) на окружности должна находиться на одинаковом расстоянии 5 от центра (0, 0), чтобы можно было записать:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

То есть:

√ (х ^ 2 + у ^ 2) = 5

Чтобы исключить квадратный корень, оба члена равенства возводятся в квадрат, получая:

х ^ 2 + у ^ 2 = 25

Какое уравнение окружности.

Этот пример демонстрирует возможности прямоугольной системы координат, которая позволяет определять геометрические объекты, такие как окружность, без необходимости использовать бумагу, карандаш и циркуль. Требуемая окружность была определена исключительно алгебраическими методами.

Ссылки

1. Арфкен Г. и Вебер Х. (2012). Математические методы для физиков. Подробное руководство. 7-е издание. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Расчет cc. Решенные задачи прямоугольных координат. Получено с: calculo.cc
3. Вайсштейн, Эрик В. «Декартовы координаты». Из MathWorld-A Wolfram Web. Получено с: mathworld.wolfram.com
4. википедия. Декартова система координат. Получено с: en.wikipedia.com