ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ: СИСТЕМА, ИЗМЕНЕНИЕ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Эти цилиндрические координаты используются для определения местоположения точек в трехмерном пространстве и состоит из радиальной координаты ρ, φ азимутальной координаты и г координаты высоты.

Точка P, расположенная в пространстве, проецируется ортогонально на плоскость XY, образуя точку P 'в этой плоскости. Расстояние от начала координат до точки P 'определяет координату ρ, а угол между осью X и лучом OP' определяет координату φ. Наконец, координата z - это ортогональная проекция точки P на ось Z. (см. рисунок 1).

Рис. 1. Точка P цилиндрических координат (ρ, φ, z). (Собственная разработка)

Радиальная координата ρ всегда положительна, азимутальная координата φ изменяется от нуля радиан до двух пи радиан, а координата z может принимать любое действительное значение:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Изменение координат

Декартовы координаты (x, y, z) точки P относительно легко получить из ее цилиндрических координат (ρ, φ, z):

х = ρ cos (φ)

у = ρ sin (φ)

г = г

Но также возможно получить полярные координаты (ρ, φ, z), исходя из знания декартовых координат (x, y, z) точки P:

р = √ (х ² + у ² )

φ = arctg (y / x)

г = г

База вектора в цилиндрических координатах

Определена база цилиндрических единичных векторов Uρ , Uφ , Uz .

Вектор Uρ касается линии φ = ctte и z = ctte (направленной радиально наружу), вектор Uφ касается прямой ρ = ctte и z = ctte, и, наконец, Uz имеет то же направление, что и ось Z.

Рисунок 2. Цилиндрическая координатная база. (викискладе)

В основании цилиндрического блока вектор положения r точки P записывается векторно следующим образом:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

С другой стороны, бесконечно малое смещение d r от точки P выражается следующим образом:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Точно так же бесконечно малый элемент объема dV в цилиндрических координатах равен:

dV = ρ dρ dφ dz

Примеры

Существует бесчисленное множество примеров использования и применения цилиндрических координат. В картографии, например, используется цилиндрическая проекция, основанная именно на этих координатах. Еще примеры:

Пример 1

Цилиндрические координаты находят применение в технике. В качестве примера у нас есть система расположения данных на жестком диске CHS (Cylinder-Head-Sector), которая фактически состоит из нескольких дисков:

- Цилиндр или дорожка соответствует координате ρ.

- Сектор соответствует положению φ диска, который вращается с большой угловой скоростью.

- Головка соответствует z-позиции считывающей головки на соответствующем диске.

Каждый байт информации имеет точный адрес в цилиндрических координатах (C, S, H).

Рис. 2. Расположение информации в цилиндрических координатах на жестком диске. (викискладе)

Пример 2

Строительные краны фиксируют положение груза в цилиндрических координатах. Горизонтальное положение определяется расстоянием до оси или стрелкой крана ρ и его угловым положением φ относительно некоторой исходной оси. Вертикальное положение груза определяется координатой z высоты.

Рис. 3. Положение груза на строительном кране легко выразить в цилиндрических координатах. (изображение pixabay - аннотации Р. Перес)

Решенные упражнения

Упражнение 1

Есть точки P1 с цилиндрическими координатами (3, 120º, -4) и точка P2 с цилиндрическими координатами (2, 90º, 5). Найдите евклидово расстояние между этими двумя точками.

Решение: Сначала мы переходим к нахождению декартовых координат каждой точки по формуле, приведенной выше.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Евклидово расстояние между точками P1 и P2 равно:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Упражнение 2.

Точка P имеет декартовы координаты (-3, 4, 2). Найдите соответствующие цилиндрические координаты.

Решение: переходим к нахождению цилиндрических координат, используя приведенные выше соотношения:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

г = 2

Следует помнить, что функция арктангенса многозначна с периодичностью 180º. Кроме того, угол φ должен принадлежать второму квадранту, поскольку координаты x и y точки P находятся в этом квадранте. Это причина, по которой к результату φ было добавлено 180 °.

Упражнение 3.

Выразите в цилиндрических координатах и ​​декартовых координатах поверхность цилиндра радиусом 2, ось которого совпадает с осью Z.

Решение: Подразумевается, что цилиндр имеет бесконечную протяженность в направлении z, поэтому уравнение указанной поверхности в цилиндрических координатах выглядит следующим образом:

ρ = 2

Чтобы получить декартово уравнение цилиндрической поверхности, берется квадрат обоих членов предыдущего уравнения:

р ² = 4

Умножаем оба члена предыдущего равенства на 1 и применяем основное тригонометрическое тождество (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(грех ² (φ) + соз ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Скобка предназначена для получения:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Мы помним, что первые круглые скобки (ρ sin (φ)) - это координата y точки в полярных координатах, а круглые скобки (ρ cos (φ)) представляют координату x, так что у нас есть уравнение цилиндра в координатах декартов:

у ² + х ² = 2 ²

Вышеупомянутое уравнение не следует путать с уравнением окружности в плоскости XY, поскольку в этом случае оно будет выглядеть следующим образом: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Упражнение 4.

Цилиндр радиусом R = 1 м и высотой H = 1 м имеет радиально распределенную массу согласно следующему уравнению: D (ρ) = C (1 - ρ / R), где C - постоянная величина C = 1 кг / м ^3. , Найдите общую массу цилиндра в килограммах.

Решение: Во-первых, необходимо понять, что функция D (ρ) представляет объемную массовую плотность и что массовая плотность распределена в цилиндрических оболочках с уменьшающейся плотностью от центра к периферии. Бесконечно малый элемент объема в соответствии с симметрией задачи:

dV = ρ dρ 2π H

Следовательно, бесконечно малая масса цилиндрической оболочки будет:

dM = D (ρ) dV

Следовательно, полная масса цилиндра будет выражена следующим определенным интегралом:

M = ∫ _или ^R D (ρ) dV = ∫ _или ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _или ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Решение указанного интеграла получить нетрудно, его результат:

∫ _или ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Включая этот результат в выражение массы цилиндра, получаем:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1 м * 1 кг / м ³ * 1 м ² = π / 3 кг ≈ 1,05 кг

Ссылки

1. Арфкен Г. и Вебер Х. (2012). Математические методы для физиков. Подробное руководство. 7-е издание. Академическая пресса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Расчет cc. Решенные задачи цилиндрических и сферических координат. Получено с: calculo.cc
3. Вайсштейн, Эрик У. "Цилиндрические координаты". Материал из MathWorld - сеть Wolfram Web. Получено с: mathworld.wolfram.com
4. википедия. Цилиндрическая система координат. Получено с: en.wikipedia.com
5. википедия. Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах. Получено с: en.wikipedia.com