БЕСКОНЕЧНЫЙ НАБОР: СВОЙСТВА, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Под бесконечным множеством понимается такой набор, в котором количество его элементов неисчислимо. То есть, каким бы большим ни было количество его элементов, всегда можно найти больше.

Наиболее распространенным примером является бесконечное множество натуральных чисел N . Не имеет значения, насколько велико число, поскольку вы всегда можете получить большее число в процессе, которому нет конца:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… ……………………}

Рисунок 1. Символ бесконечности. (Pixabay)

Набор звезд во Вселенной, несомненно, огромен, но точно неизвестно, конечен он или бесконечен. В отличие от числа планет в солнечной системе, которое, как известно, является конечным набором.

Свойства бесконечного множества

Среди свойств бесконечных множеств можно выделить следующие:

1- Объединение двух бесконечных множеств дает начало новому бесконечному множеству.

2- Объединение конечного множества с бесконечным порождает новое бесконечное множество.

3- Если подмножество данного набора бесконечно, то исходное множество также бесконечно. Ответное утверждение не соответствует действительности.

Вы не можете найти натуральное число, способное выразить мощность или количество элементов бесконечного множества. Однако немецкий математик Георг Кантор ввел понятие трансфинитного числа для обозначения бесконечного порядкового числа, большего, чем любое натуральное число.

Примеры

Натуральный N

Самый частый пример бесконечного множества - это натуральные числа. Для подсчета используются натуральные числа, однако целые числа, которые могут существовать, неисчислимы.

Набор натуральных чисел не включает ноль и обычно обозначается как набор N , который в развернутой форме выражается следующим образом:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} И, очевидно, бесконечное множество.

Многоточие используется для обозначения того, что после одного числа следует другое, а затем еще одно в бесконечном или бесконечном процессе.

Набор натуральных чисел, соединенных с набором, содержащим число ноль (0), называется набором N + .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Что является результатом объединения бесконечного множества N с конечным множеством O = {0}, в результате чего получается бесконечное множество N + .

Целые числа Z

Набор целых чисел Z состоит из натуральных чисел, натуральных чисел с отрицательным знаком и нуля.

Целые числа Z считаются эволюцией по сравнению с натуральными числами N, которые изначально и примитивно использовались в процессе подсчета.

В числовом наборе Z целых чисел ноль используется для подсчета или подсчета ничего, а отрицательные числа - для подсчета извлечения, потери или отсутствия чего-либо.

Чтобы проиллюстрировать идею, предположим, что на банковском счете появился отрицательный баланс. Это означает, что на счете ниже нуля, и дело не только в том, что счет пуст, но и в том, что на нем отсутствует или отрицательная разница, которую нужно каким-то образом заменить в банке.

В развернутом виде бесконечное множество целых чисел Z записывается так:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Рациональные числа Q

В ходе эволюции процесса подсчета и обмена вещей, товаров или услуг появляются дробные или рациональные числа.

Например, при обмене половины буханки на два яблока во время записи транзакции кому-то пришло в голову, что половину следует записать как одну, разделенную или разделенную на две части: ½. Но половина половины хлеба будет записана в бухгалтерских книгах следующим образом: ½ / ½ = ¼.

Понятно, что теоретически этот процесс деления может быть бесконечным, хотя на практике он продолжается до тех пор, пока не будет достигнута последняя частица хлеба.

Набор рациональных (или дробных) чисел обозначается следующим образом:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Многоточие между двумя целыми числами означает, что между этими двумя числами или значениями существует бесконечное количество разделов или делений. Вот почему множество рациональных чисел называется бесконечно плотным. Это потому, что независимо от того, насколько близки друг к другу два рациональных числа, можно найти бесконечные значения.

Чтобы проиллюстрировать вышеизложенное, предположим, что нас просят найти рациональное число от 2 до 3. Это число может быть 2⅓, которое известно как смешанное число, состоящее из 2 целых частей плюс треть единицы, то есть эквивалентно записи 4/3.

Между 2 и 2⅓ может быть найдено другое значение, например 2⅙. А между 2 и 2⅙ может быть найдено другое значение, например 2⅛. Между этими двумя еще один, а между ними еще один, еще один и еще один.

Рисунок 2. Бесконечные деления рациональных чисел. (викискладе)

Иррациональные числа I

Есть числа, которые нельзя записать как деление или дробь двух целых чисел. Именно это числовое множество известно как множество I иррациональных чисел, и оно также является бесконечным множеством.

Некоторыми примечательными элементами или представителями этого числового набора являются число пи (π), число Эйлера (e), золотое сечение или золотое число (φ). Эти числа можно приблизительно записать только рациональными числами:

π = 3,1415926535897932384626433832795 …… (и продолжается до бесконечности и далее…)

e = 2,7182818284590452353602874713527 ……. (и продолжается до бесконечности…)

φ = 1,61803398874989484820 …… .. (до бесконечности… ..и дальше… ..)

Другие иррациональные числа появляются при попытке найти решения очень простых уравнений, например, уравнение X ^ 2 = 2 не имеет точного рационального решения. Точное решение выражается следующими символами: X = √2, что читается как x, равное корню из двух. Приблизительное рациональное (или десятичное) выражение для √2:

√2 ≈1,4142135623730950488016887242097.

Существует бесчисленное множество иррациональных чисел, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖) и многие другие.

Множество вещественных чисел R

Действительные числа - это набор чисел, который чаще всего используется в математическом исчислении, физике и технике. Этот набор чисел представляет собой объединение рациональных чисел Q и иррациональных чисел I :

R = Q U I

Бесконечность больше бесконечности

Среди бесконечных множеств одни больше других. Например, множество натуральных чисел N является бесконечным , но представляет собой подмножество целых чисел Z , который является бесконечным, поэтому бесконечное множество Z больше , чем бесконечное множество N .

Точно так же множество целых чисел Z является подмножеством действительных чисел R , и , следовательно , множество R является «бесконечности» бесконечное множество Z .

Ссылки

1. Celeberrima. Примеры бесконечных множеств. Получено с: celeberrima.com
2. Фуэнтес, А. (2016). ОСНОВНАЯ МАТЕМАТИКА. Введение в исчисление. Lulu.com.
3. Гаро, М. (2014). Математика: квадратные уравнения: как решить квадратное уравнение. Марилу Гаро.
4. Хаусслер, EF, и Пол, RS (2003). Математика для менеджмента и экономики. Pearson Education.
5. Хименес, Дж., Родригес, М., Эстрада, Р. (2005). Математика 1 сен. Порог.
6. Прециадо, Коннектикут (2005). Курс математики 3-й. Редакция Прогресо.
7. Рок, Нью-Мексико (2006). Алгебра I - это просто! Так легко. Team Rock Press.
8. Салливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.
9. Wikipedia. Бесконечный набор. Получено с: es.wikipedia.com