ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ: СВОЙСТВА, РАСЧЕТ, ПРИМЕРЫ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2024

Центр тяжести тела измеримого размера является точкой , где его вес считается быть применены. Поэтому это одна из основных концепций статики.

Первый подход в задачах элементарной физики состоит в предположении, что любой объект ведет себя как точечная масса, то есть он не имеет размеров и вся масса сосредоточена в одной точке. Это справедливо для коробки, автомобиля, планеты или субатомной частицы. Эта модель известна как модель частиц.

Рис. 1. В прыжке в высоту атлет делает так, чтобы его центр тяжести находился вне тела. Источник: Pixabay

Это, конечно, приближение, которое очень хорошо работает для многих приложений. Рассмотреть индивидуальное поведение тысяч и миллионов частиц, которые может содержать любой объект, - непростая задача.

Однако необходимо принимать во внимание реальные размеры вещей, если мы хотим получить результаты, более близкие к реальности. Поскольку мы обычно находимся вблизи Земли, вездесущая сила, действующая на любое тело, - это как раз вес.

Рекомендации по поиску центра тяжести

Если необходимо учитывать размер тела, где конкретно должен применяться вес? Когда у вас есть непрерывный объект произвольной формы, его вес - это сила, распределенная между каждой из составляющих его частиц.

Пусть эти частицы будут m ₁ , m ₂ , m ₃ … Каждая из них испытывает соответствующую гравитационную силу m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g…, все они параллельны. Это так, поскольку гравитационное поле Земли в подавляющем большинстве случаев считается постоянным, поскольку объекты малы по сравнению с размерами планеты и находятся близко к ее поверхности.

Рисунок 2. Вес объекта - это распределенная масса. Источник: самодельный.

Векторная сумма этих сил дает вес объекта, приложенный к точке, называемой центром тяжести, обозначенной на рисунке как CG, которая затем совпадает с центром масс. Центр масс, в свою очередь, - это точка, в которой можно считать сосредоточенной всю массу.

Результирующий вес имеет величину Mg, где M - это общая масса объекта, и, конечно, он направлен вертикально к центру Земли. Обозначение суммирования полезно для выражения общей массы тела:

Центр тяжести не всегда совпадает с материальной точкой. Например, ЦТ кольца находится в его геометрическом центре, где нет самой массы. Тем не менее, если вы хотите проанализировать силы, действующие на обруч, вы должны приложить вес к этой точной точке.

В тех случаях, когда объект имеет произвольную форму, если он однороден, его центр масс все же можно вычислить, найдя центроид или центр тяжести фигуры.

Как рассчитывается центр тяжести?

В принципе, если центр тяжести (CG) и центр масс (см) совпадают, поскольку гравитационное поле однородно, то можно рассчитать см и приложить к нему вес.

Рассмотрим два случая: первый - это тот, в котором распределение масс дискретно; то есть каждую массу, составляющую систему, можно подсчитать и присвоить ей номер i, как это было сделано в предыдущем примере.

Координаты центра масс для дискретного распределения масс:

Естественно, сумма всех масс равна общей массе системы M, как указано выше.

Три уравнения сводятся к компактной форме при рассмотрении вектора r _cm или вектора положения центра масс:

А в случае непрерывного распределения массы, когда частицы имеют разный размер и их нельзя различить для их подсчета, сумма заменяется интегралом, который рассчитывается по объему, занимаемому рассматриваемым объектом:

Где r - вектор положения дифференциальной массы dm, а определение массовой плотности было использовано для выражения разницы масс dm, содержащейся в разности объема dV:

свойства

Вот некоторые важные соображения относительно центра масс:

- Хотя для определения положений требуется система отсчета, центр масс не зависит от выбора, сделанного системой, поскольку это свойство объекта.

- Когда объект имеет ось или плоскость симметрии, центр масс находится на этой оси или плоскости. Использование этого обстоятельства позволяет сэкономить время расчета.

- Все внешние силы, действующие на объект, могут быть приложены к центру масс. Отслеживание движения этой точки дает обзор движения объекта и облегчает изучение его поведения.

-Поиск центра тяжести тела в статическом равновесии

Предположим, вы хотите, чтобы тело, показанное на предыдущем рисунке, находилось в статическом равновесии, то есть оно не перемещалось и не вращалось вокруг произвольной оси вращения, которая может быть О.

Рисунок 3. Схема для расчета крутящего момента груза относительно точки О.

-Решенный пример

Тонкий стержень из однородного материала имеет длину 6 м и весит 30 Н. На левом конце висит груз весом 50 Н, а на правом конце - груз 20 Н. Найдите: а) величину направленной вверх силы, необходимую для поддержания равновесия штанги, б) центр тяжести сборки.

Решение

Диаграмма сил показана на следующем рисунке. Вес штанги прикладывается к его центру тяжести, который совпадает с его геометрическим центром. Единственным принимаемым во внимание размером стержня является его длина, поскольку в заявлении указано, что он тонкий.

Рисунок 4. Диаграмма сил для стержня.

Чтобы система гриф + гиря оставалась в поступательном равновесии, сумма сил должна быть равна нулю. Силы вертикальные, если рассматривать вверх со знаком + и вниз со знаком - то:

Ж- 50-20-30 Н = 0

F = 100 Н

Эта сила гарантирует поступательный баланс. Взяв крутящие моменты всех сил по отношению к оси, проходящей через крайний левый угол системы, и применив определение:

t = rx F

Моменты всех этих сил относительно выбранной точки перпендикулярны плоскости стержня:

Таким образом:

Центр тяжести штанги + гантели находится в 2,10 м от левого края штанги.

Отличие от центра масс

Центр тяжести совпадает с центром масс, как указано, до тех пор, пока гравитационное поле Земли остается постоянным для всех точек рассматриваемого объекта. Гравитационное поле Земли - это не что иное, как хорошо известное и знакомое значение g = 9,8 м / с ^2, направленное вертикально вниз.

Хотя значение g меняется в зависимости от широты и высоты, они обычно не влияют на объекты, которые чаще всего обсуждаются. Было бы совсем иначе, если бы вы рассмотрели большое тело в непосредственной близости от Земли, например, астероид, который находится очень близко к планете.

У астероида есть собственный центр масс, но его центр тяжести больше не должен совпадать с ним, поскольку величина g, вероятно, будет значительно варьироваться по величине, учитывая размер астероида и то, что веса каждой частицы не могут быть параллельны.

Еще одно фундаментальное отличие состоит в том, что центр масс находится независимо от того, приложена ли к объекту сила, называемая весом. Это внутреннее свойство объекта, которое показывает нам, как его масса распределяется по отношению к его геометрии.

Центр масс существует независимо от того, приложен ли вес. И он находится в том же положении, даже если объект перемещается на другую планету, у которой другое гравитационное поле.

С другой стороны, центр тяжести явно связан с приложением веса, как мы видели в предыдущих абзацах.

Примеры центра тяжести

Центр тяжести нестандартных предметов

Очень легко узнать, где находится центр тяжести объекта неправильной формы, например чашки. Сначала его подвешивают к любой точке, а оттуда проводят вертикальную линию (на рисунке 5 это линия фуксии на левом изображении).

Затем он подвешивается к другой точке и рисуется новая вертикаль (бирюзовая линия на правом изображении). Пересечение обеих линий - это центр тяжести чашки.

Рисунок 5. CG расположение кружки. Источник: модифицировано с сайта Pixabay.

Балансировка объектов

Разберем устойчивость грузовика на дороге. Когда центр тяжести находится над основанием грузовика, он не перевернется. Изображение слева - наиболее стабильное положение.

Рисунок 6. Балансировка грузовика. Источник: самодельный.

Даже когда грузовик наклоняется вправо, он сможет вернуться в устойчивое положение равновесия, как на среднем рисунке, поскольку вертикаль все еще проходит через основание. Однако, когда эта линия выходит за пределы, грузовик опрокидывается.

На диаграмме показаны силы в точке опоры: нормальное - желтым, вес - зеленым, статическое трение - слева - фуксией. Нормаль и трение применяются к оси вращения, поэтому они не создают крутящего момента. Поэтому они не будут способствовать переворачиванию грузовика.

Остается вес, который создает крутящий момент, к счастью, против часовой стрелки, и который стремится вернуть грузовик в положение равновесия. Обратите внимание, что вертикальная линия проходит через опорную поверхность, которая является шиной.

Когда грузовик находится в крайнем правом положении, крутящий момент веса изменяется на по часовой стрелке. Грузовик перевернется, и его невозможно будет противопоставить в следующий раз.

Ссылки

1. Бауэр, В. 2011. Физика для инженерии и науки. Том 1. Мак Гроу Хилл. 247-253.
2. Джанколи, Д. 2006. Физика: принципы с приложениями. 6-е .. Эд Прентис Холл. 229-238.
3. Резник, Р. (1999). Физическая. Том 1. 3-е изд. На испанском языке. Compañía Editor Continental SA de CV 331-341.
4. Рекс, А. 2011. Основы физики. Пирсон. 146–155.
5. Сирс, Земанский. 2016. Университетская физика с современной физикой. Четырнадцатый. Изд. Том 1,340-346.