ПЕРВООБРАЗНАЯ: ФОРМУЛЫ И УРАВНЕНИЯ, ПРИМЕРЫ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Первообразная Р (х) функции F (х) также называют примитивным или просто неопределенный интеграл от указанной функции, если в заданном интервале I, оно выполнено , что Г'(х) = F (X)

Например, возьмем следующую функцию:

е (х) = 4х ³

Первообразной этой функции является F (x) = x ⁴ , поскольку при дифференцировании F (x) с использованием правила вывода для степеней:

Получаем в точности f (x) = 4x ³ .

Однако это только одна из многих первообразных f (x), поскольку эта другая функция: G (x) = x ⁴ + 2 также является, потому что при дифференцировании G (x) по x получается то же самое назад f (x).

Давайте проверим:

Помните, что производная константы равна 0. Следовательно , мы можем добавить любую константу к члену x ^4, и ее производная останется 4x ³ .

Сделан вывод, что любая функция общего вида F (x) = x ⁴ + C, где C - действительная константа, служит первообразной f (x).

Иллюстративный пример выше можно выразить так:

dF (x) = 4x ³ dx

Первообразный или неопределенный интеграл выражается символом ∫, поэтому:

F (x) знак равно ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Где функция f (x) = 4x ³ называется подынтегральным выражением, а C - постоянная интегрирования.

Примеры первообразных

Рисунок 1. Первообразная - не что иное, как неопределенный интеграл. Источник: Pixabay.

Найти первообразную функции просто в некоторых случаях, когда производные хорошо известны. Например, пусть функция f (x) = sin x, первообразной для нее является другая функция F (x), такая, что при ее дифференцировании мы получаем f (x).

Эта функция может быть:

F (x) = - cos x

Проверим, что это правда:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Поэтому мы можем написать:

∫sen x dx = -cos x + C

Помимо знания производных, есть несколько основных и простых правил интегрирования для нахождения первообразной или неопределенного интеграла.

Пусть k - действительная константа, тогда:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Если функцию h (x) можно выразить как сложение или вычитание двух функций, то ее неопределенный интеграл равен:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Это свойство линейности.

Правило степеней интегралов может быть установлено следующим образом:

Для случая n = -1 используется следующее правило:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Легко показать, что производная ln x в точности равна x ^-1 .

Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором неизвестное находится как производная.

Теперь, из предыдущего анализа, легко понять, что операция, обратная производной, является первообразной или неопределенным интегралом.

Пусть f (x) = y´ (x), то есть производная некоторой функции. Мы можем использовать следующие обозначения для обозначения этой производной:

Отсюда сразу следует, что:

Неизвестным в дифференциальном уравнении является функция y (x), производная которой равна f (x). Чтобы решить эту проблему, предыдущее выражение интегрируется с обеих сторон, что эквивалентно применению первообразной:

Левый интеграл решается с помощью правила интегрирования 1 с k = 1, таким образом решая искомую неизвестную:

А поскольку C - реальная константа, чтобы знать, какая из них подходит в каждом случае, оператор должен содержать достаточно дополнительной информации для вычисления значения C. Это называется начальным условием.

Мы увидим примеры применения всего этого в следующем разделе.

Антипроизводные упражнения

- Упражнение 1

Примените правила интегрирования, чтобы получить следующие первообразные или неопределенные интегралы заданных функций, максимально упростив результаты. Результат удобно проверять выводом.

Рис. 2. Упражнения с первообразными или определенными интегралами. Источник: Pixabay.

Решение для

Сначала применим правило 3, так как подынтегральное выражение представляет собой сумму двух членов:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Для первого интеграла применяется правило мощности:

∫ дх = (х ² /2) + С ₁

Во втором интеграле применяется правило 1, где k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

А теперь результаты добавлены. Две константы сгруппированы в одну, обычно называемую C:

∫ (х + 7) = дх (х ² /2) + 7x + C ,

Решение б

По линейности этот интеграл разлагается на три более простых интеграла, к которым будет применено правило мощности:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Обратите внимание, что константа интегрирования появляется для каждого интеграла, но они встречаются в одном вызове C.

Решение c

В этом случае для получения подынтегрального выражения удобно применить свойство распределения умножения. Затем используется степенное правило для нахождения каждого интеграла отдельно, как в предыдущем упражнении.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Внимательный читатель заметит, что два центральных члена похожи, поэтому перед интегрированием они сокращаются:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Решение e

Одним из способов решения интеграла было бы развитие мощности, как это было сделано в примере d. Однако, поскольку показатель степени выше, было бы целесообразно изменить переменную, чтобы не проводить такую ​​долгую разработку.

Изменение переменной происходит следующим образом:

и = х + 7

Получив это выражение для обеих сторон:

du = dx

Интеграл преобразуется в более простой с новой переменной, которая решается с помощью правила степеней:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Наконец, возвращается изменение, чтобы вернуться к исходной переменной:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Упражнение 2.

Изначально частица находится в состоянии покоя и движется по оси абсцисс. Его ускорение при t> 0 определяется функцией a (t) = cos t. Известно, что при t = 0 положение x = 3, все в единицах Международной системы. Требуется найти скорость v (t) и положение x (t) частицы.

Решение

Поскольку ускорение - это первая производная скорости по времени, мы имеем следующее дифференциальное уравнение:

a (t) = v´ (t) = cos t

Это следует из того:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

С другой стороны, мы знаем, что скорость, в свою очередь, является производной от положения, поэтому мы реинтегрируем:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Константы интегрирования определяются из информации, приведенной в заявлении. Во-первых, это говорит о том, что частица изначально находилась в состоянии покоя, поэтому v (0) = 0:

v (0) = грех 0 + C ₁ = 0

С ₁ = 0

Тогда имеем x (0) = 3:

х (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Функции скорости и положения определенно такие:

v (t) = sin t

х (t) = - cos t + 4

Ссылки

1. Энглер, А. 2019. Интегральное исчисление. Национальный университет Литорала.
2. Ларсон, Р. 2010. Вычисление переменной. Девятый. Издание. Макгроу Хилл.
3. Бесплатные тексты по математике. Первообразные. Получено с: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Первообразной. Получено с: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Бесконечная интеграция. Получено с: es.wikipedia.org.