ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК: ЭЛЕМЕНТЫ, СВОЙСТВА, КЛАССИФИКАЦИЯ, ПРИМЕРЫ - МАТЕМАТИКА - 2025

Четырехугольник представляет собой многоугольник с четырех сторон и четыре вершин. Его противоположные стороны - это те, которые не имеют общих вершин, а последовательные стороны - это те, которые имеют общую вершину.

В четырехугольнике смежные углы имеют одну сторону, а противоположные углы не имеют общих сторон. Другой важной характеристикой четырехугольника является то, что сумма четырех его внутренних углов в два раза больше плоского угла, то есть 360º или 2π радиан.

Рисунок 1. Различные четырехугольники. Источник: Ф. Сапата.

Диагонали - это отрезки, которые соединяют вершину с противоположной ей, и в данном четырехугольнике из каждой вершины можно провести одну диагональ. Общее количество диагоналей в четырехугольнике - две.

Четырехугольники - фигуры, известные человечеству с давних времен. Об этом свидетельствуют археологические находки, а также сохранившиеся до наших дней постройки.

Точно так же и сегодня четырехугольники продолжают играть важную роль в повседневной жизни каждого человека. Читатель может найти эту форму на экране, на котором в данный момент читается текст, на окнах, дверях, автомобильных деталях и во множестве других мест.

Четырехугольная классификация

По параллельности противоположных сторон четырехугольники классифицируются следующим образом:

1. Трапеция, когда нет параллельности и четырехугольник выпуклый.
2. Трапеция, когда есть параллельность между одной парой противоположных сторон.
3. Параллелограмм, когда его противоположные стороны параллельны пополам.

Рисунок 2. Классификация и подклассификация четырехугольников. Источник: Wikimedia Commons.

Виды параллелограмма

В свою очередь, параллелограммы по углам и сторонам можно классифицировать следующим образом:

1. Прямоугольник - это параллелограмм, у которого четыре внутренних угла одинаковой меры. Внутренние углы прямоугольника образуют прямой угол (90º).
2. Квадрат, это прямоугольник с четырьмя сторонами равной меры.
3. Ромб - это параллелограмм с четырьмя равными сторонами, но разными соседними углами.
4. Ромбовидный, параллелограмм с разными прилегающими углами.

трапеция

Трапеция представляет собой выпуклый четырехугольник с двумя параллельными сторонами.

Рис. 3. Основания, стороны, высота и середина трапеции. Источник: Wikimedia Commons.

- В трапеции параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные стороны - боковыми.

- Высота трапеции - это расстояние между двумя основаниями, то есть длина отрезка с концами у оснований и перпендикулярно им. Этот отрезок еще называют высотой трапеции.

- Медиана - это сегмент, соединяющий середины боковых стволов. Можно показать, что медиана параллельна основаниям трапеции, а ее длина равна полусумме оснований.

- Площадь трапеции - это ее высота, умноженная на полусумму оснований:

Виды трапеций

-Прямоугольная трапеция : это та, у которой сторона перпендикулярна основанию. Эта сторона также является высотой трапеции.

- Равнобедренная трапеция : та, у которой стороны равной длины. У равнобедренной трапеции углы, прилегающие к основанию, равны.

-Скаленовая трапеция : та, у которой стороны разной длины. Его противоположные углы могут быть одним острым, а другой - тупым, но также может случиться так, что оба они тупые или оба острые.

Рисунок 4. Виды трапеции. Источник: Ф. Сапата.

Параллелограмм

Параллелограмм - это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны два на два. В параллелограмме противоположные углы равны, а соседние углы являются дополнительными, или, другими словами, соседние углы в сумме составляют 180 °.

Если у параллелограмма прямой угол, то все остальные углы тоже будут, и получившаяся фигура называется прямоугольником. Но если у прямоугольника также есть смежные стороны одинаковой длины, то все его стороны равны, и получившаяся фигура представляет собой квадрат.

Рисунок 5. Параллелограммы. Прямоугольник, квадрат и ромб - параллелограммы. Источник: Ф. Сапата.

Когда у параллелограмма две смежные стороны одинаковой длины, все его стороны будут одинаковой длины, и полученная фигура будет ромбом.

Высота параллелограмма - это отрезок, концы которого находятся на противоположных сторонах и перпендикулярны им.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению основания на его высоту, причем основание представляет собой сторону, перпендикулярную высоте (рис. 6).

Диагонали параллелограмма

Квадрат диагонали, начинающейся от вершины, равен сумме квадратов двух сторон, прилегающих к указанной вершине, плюс двойное произведение этих сторон на косинус угла этой вершины:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Рисунок 6. Параллелограмм. Противоположные углы, высота, диагонали. Источник: Ф. Сапата.

Квадрат диагонали, противоположной вершине параллелограмма, равен сумме квадратов двух сторон, смежных с указанной вершиной, после вычитания двойного произведения этих сторон на косинус угла этой вершины:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Закон параллелограммов

В любом параллелограмме сумма квадратов его сторон равна сумме квадратов диагоналей:

а ² + б ² + с ² + г ² = е ² + г ²

re ctángulo

Прямоугольник представляет собой четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны два на два и который также имеет прямой угол. Другими словами, прямоугольник - это разновидность параллелограмма с прямым углом. Поскольку это параллелограмм, у прямоугольника есть противоположные стороны равной длины a = c и b = d.

Но как в любом параллелограмме смежные углы являются дополнительными, а противоположные углы равны, в прямоугольнике, поскольку он имеет прямой угол, он обязательно образует прямые углы в трех других углах. Другими словами, в прямоугольнике все внутренние углы составляют 90º или π / 2 радиан.

Диагонали прямоугольника

В прямоугольнике диагонали имеют одинаковую длину, как будет показано ниже. Рассуждения заключаются в следующем; Прямоугольник - это параллелограмм со всеми его прямыми углами и, следовательно, наследует все свойства параллелограмма, включая формулу, которая дает длину диагоналей:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

с α = 90º

Поскольку Cos (90º) = 0, то бывает, что:

f ² = g ² = a ² + d ²

То есть f = g, и поэтому длины f и g двух диагоналей прямоугольника равны, а их длина определяется как:

Кроме того, если в прямоугольнике со смежными сторонами a и b одна сторона берется за основу, другая сторона будет иметь высоту и, следовательно, площадь прямоугольника будет:

Площадь прямоугольника = ax b.

Периметр - это сумма всех сторон прямоугольника, но поскольку противоположности равны, отсюда следует, что для прямоугольника со сторонами a и b периметр задается по следующей формуле:

Периметр прямоугольника = 2 (a + b)

Рис. 7. Прямоугольник со сторонами a и b. Диагонали f и g равны. Источник: Ф. Сапата.

Квадрат

Квадрат представляет собой прямоугольник со смежными сторонами одинаковой длины. Если квадрат имеет сторону a, то его диагонали f и g имеют одинаковую длину, т.е. f = g = (√2) a.

Площадь квадрата - это квадрат его стороны:

Площадь квадрата = ²

Периметр квадрата равен удвоенной стороне:

Периметр квадрата = 4 а

Рис. 8. Квадрат со стороной a, обозначающей его площадь, периметр и длину диагоналей. Источник: Ф. Сапата ..

ромб

Ромб - это параллелограмм, у которого смежные стороны равны по длине, но поскольку противоположные стороны равны в параллелограмме, то все стороны ромба равны по длине.

Диагонали ромба разной длины, но пересекаются под прямым углом.

Рис. 9. Ромб стороны а с указанием ее площади, периметра и длины диагоналей. Источник: Ф. Сапата.

Примеры

Пример 1

Покажите, что в четырехугольнике (не скрещенном) внутренние углы в сумме составляют 360 °.

Рисунок 10: Показано, как сумма углов четырехугольника в сумме дает 360º. Источник: Ф. Сапата.

Рассматривается четырехугольник ABCD (см. Рисунок 10) и рисуется диагональ BD. Образованы два треугольника ABD и BCD. Сумма внутренних углов треугольника ABD равна:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

А сумма внутренних углов треугольника BCD равна:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Складывая два уравнения, получаем:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Группировка:

α + (β ₁ + β ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Путем группировки и переименования окончательно показано, что:

α + β + δ + γ = 360º

Пример 2

Покажите, что медиана трапеции параллельна ее основаниям, а ее длина равна полусумме оснований.

Рис. 11. Медиана MN трапеции ABCD. Источник: Ф. Сапата.

Медиана трапеции - это отрезок, соединяющий середины ее сторон, то есть непараллельные стороны. В трапеции ABCD, показанной на рисунке 11, медиана равна MN.

Поскольку M - середина AD, а N - середина BC, отношения AM / AD и BN / BC равны.

То есть AM пропорционален BN в той же пропорции, что и AD к BC, поэтому приведены условия для применения (взаимной) теоремы Фалеса, которая гласит следующее:

«Если пропорциональные сегменты определены в трех или более линиях, разделенных двумя секущими, то все эти линии параллельны».

В нашем случае делается вывод, что прямые MN, AB и DC параллельны друг другу, поэтому:

«Медиана трапеции параллельна ее основаниям».

Теперь будет применяться теорема Фалеса:

«Набор параллелей, разрезанных двумя или более секущими, определяет пропорциональные сегменты».

В нашем случае AD = 2 AM, AC = 2 AO, поэтому треугольник DAC подобен треугольнику MAO, и, следовательно, DC = 2 MO.

Подобный аргумент позволяет нам утверждать, что CAB подобен CON, где CA = 2 CO и CB = 2 CN. Отсюда сразу следует, что AB = 2 ON.

Короче говоря, AB = 2 ON и DC = 2 МО. Итак, при добавлении мы имеем:

AB + DC = 2 ВКЛ + 2 МО = 2 (МО + ВКЛ) = 2 МН

Наконец MN очищается:

MN = (AB + DC) / 2

И делается вывод, что медиана трапеции измеряет полусумму оснований, или другими словами: медиана измеряет сумму оснований, деленную на два.

Пример 3

Покажите, что в ромбе диагонали пересекаются под прямым углом.

Рис. 12. Ромб и демонстрация того, что его диагонали пересекаются под прямым углом. Источник: Ф. Сапата.

Доска на рисунке 12 показывает необходимую конструкцию. Сначала строится параллелограмм ABCD с AB = BC, то есть ромб. Диагонали AC и DB определяют восемь углов, показанных на рисунке.

Используя теорему (aip), которая утверждает, что чередующиеся внутренние углы между параллелями, пересеченными секущей, определяют равные углы, мы можем установить следующее:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ и δ2 = β2. (*)

С другой стороны, поскольку смежные стороны ромба имеют одинаковую длину, определяются четыре равнобедренных треугольника:

DAB, BCD, CDA и ABC

Теперь применяется теорема о треугольнике (равнобедренном), в которой говорится, что углы, прилегающие к основанию, равны, из чего делается вывод, что:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ и α ₁ = γ2 (**)

При объединении соотношений (*) и (**) достигается равенство углов:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ _1, с одной стороны, и β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2, с другой.

Вспоминая теорему о равных треугольниках, которая утверждает, что два треугольника с одинаковой стороной между двумя равными углами равны, мы имеем:

AOD = AOB и, следовательно, также углы ∡AOD = ∡AOB.

Тогда ∡AOD + ∡AOB = 180º, но поскольку оба угла имеют одинаковую меру, мы имеем 2 ∡AOD = 180º, что означает, что ∡AOD = 90º.

То есть геометрически показано, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Решенные упражнения

- Упражнение 1

Покажите, что в прямой трапеции непрямые углы являются дополнительными.

Решение

Рисунок 13. Правая трапеция. Источник: Ф. Сапата.

Трапеция ABCD состоит из параллельных оснований AB и DC. Внутренний угол вершины A прямой (он составляет 90º), поэтому мы имеем прямую трапецию.

Углы α и δ - это внутренние углы между двумя параллелями AB и DC, поэтому они равны, то есть δ = α = 90º.

С другой стороны, было показано, что сумма внутренних углов четырехугольника в сумме составляет 360 °, то есть:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Вышесказанное приводит к:

β + δ = 180º

Подтверждая то, что хотели показать, что углы β и δ являются дополнительными.

- Упражнение 2.

Параллелограмм ABCD имеет AB = 2 см и AD = 1 см, кроме того, угол BAD равен 30º. Определите площадь этого параллелограмма и длину двух его диагоналей.

Решение

Площадь параллелограмма - это произведение длины его основания и высоты. В этом случае за основу будет взята длина отрезка b = AB = 2 см, другая сторона имеет длину a = AD = 1 см, а высота h будет рассчитана следующим образом:

h = AD * Sen (30º) = 1 см * (1/2) = ½ см.

Итак: Площадь = b * h = 2 см * ½ см = 1 см ² .

Ссылки

1. CEA (2003). Элементы геометрии: с упражнениями и геометрией компаса. Медельинский университет.
2. Кампос, Ф., Сереседо, Ф.Дж. (2014). Математика 2. Grupo Editor Patria.
3. Фрид, К. (2007). Откройте для себя полигоны. Компания Benchmark Education.
4. Хендрик, В. (2013). Обобщенные многоугольники. Birkhäuser.
5. Айгер. (SF). Математика Первый семестр Такана. Айгер.
6. Геометрия младшего. (2014). Полигоны. Lulu Press, Inc.
7. Миллер, Херен и Хорнсби. (2006). Математика: рассуждение и приложения (десятое издание). Pearson Education.
8. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакция Прогресо.
9. Wikipedia. Четырехугольников. Получено с: es.wikipedia.com