УПРУГИЕ УДАРЫ: В ОДНОМ ИЗМЕРЕНИИ, ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ, УПРАЖНЕНИЯ - ФИЗИЧЕСКИЙ - 2025

Эти упругие столкновения или упругие столкновения короткие , но интенсивные взаимодействия между объектами, в которых являются консервативными как импульс и кинетическая энергия. Аварии - очень частое явление в природе: от субатомных частиц до галактик, до бильярдных шаров и машин в парках развлечений - все они могут сталкиваться друг с другом.

Во время столкновения или столкновения силы взаимодействия между объектами очень сильны, намного больше, чем те, которые могут действовать извне. Таким образом можно утверждать, что во время столкновения частицы образуют изолированную систему.

Столкновения бильярдных шаров можно считать упругими. Источник: Pixabay.

В этом случае верно следующее:

Импульс P _o до столкновения такой же, как и после столкновения. Это верно для любого типа столкновения, как упругого, так и неупругого.

Теперь рассмотрим следующее: во время столкновения объекты претерпевают определенную деформацию. Когда удар упругий, объекты быстро возвращаются к своей первоначальной форме.

Сохранение кинетической энергии

Обычно во время столкновения часть энергии объектов расходуется на тепло, деформацию, звук и иногда даже на создание света. Таким образом, кинетическая энергия системы после столкновения меньше исходной кинетической энергии.

Когда кинетическая энергия K сохраняется, тогда:

Это означает, что силы, действующие во время столкновения, консервативны. Во время столкновения кинетическая энергия на короткое время преобразуется в потенциальную, а затем обратно в кинетическую. Соответствующие кинетические энергии меняются, но сумма остается постоянной.

Совершенно упругие столкновения редки, хотя бильярдные шары - довольно хорошее приближение, как и столкновения, которые происходят между молекулами идеального газа.

Упругие удары в одном измерении

Давайте рассмотрим столкновение двух его частиц в одном измерении; то есть взаимодействующие частицы движутся, скажем, вдоль оси x. Предположим, у них есть массы m ₁ и m ₂ . Начальные скорости каждого равны u _{1 и} u ₂ соответственно. Конечные скорости v ₁ и v ₂ .

Можно обойтись без векторных обозначений, так как движение осуществляется по оси x, однако знаки (-) и (+) указывают направление движения. Слева по условию отрицательный, а справа положительный.

-Формула для упругих столкновений

По количеству движения

Для кинетической энергии

Пока известны массы и начальные скорости, уравнения можно перегруппировать, чтобы найти конечные скорости.

Проблема в том, что в принципе необходимо провести довольно утомительную алгебру, поскольку уравнения кинетической энергии содержат квадраты скоростей, что делает вычисления немного громоздкими. Идеальным было бы найти выражения, которые их не содержат.

Первый состоит в том, чтобы отказаться от множителя ½ и переписать оба уравнения таким образом, чтобы появился отрицательный знак и массы можно было разложить на множители:

Выражаясь таким образом:

Упрощение для исключения квадратов скоростей

Теперь мы должны использовать заметную сумму произведений по ее разности во втором уравнении, с помощью которого мы получаем выражение, не содержащее квадратов, как первоначально планировалось:

Следующий шаг - подставить первое уравнение во второе:

И поскольку член m ₂ (v ₂ - u ₂ ) повторяется с обеих сторон равенства, этот член отменяется и остается таким:

Или даже лучше:

Конечные скорости v

Теперь у вас есть два линейных уравнения, с которыми проще работать. Поставим их друг под друга:

Умножив второе уравнение на m ₁ и добавив член к члену, получим :

И уже можно v ₂ очистить . Например:

Частные случаи при упругих столкновениях

Теперь, когда доступны уравнения для конечных скоростей обеих частиц, пора проанализировать некоторые особые ситуации.

Две одинаковые массы

В этом случае m ₁ = m ₂ = my:

Частицы просто меняют свои скорости после столкновения.

Две одинаковые массы, одна из которых изначально находилась в покое

Снова m ₁ = m ₂ = m и полагая u ₁ = 0:

После столкновения покоящаяся частица приобретает ту же скорость, что и движущаяся частица, а это, в свою очередь, останавливается.

Две разные массы, одна из которых изначально находится в состоянии покоя

В этом случае предположим, что u ₁ = 0, но массы разные:

Что, если m ₁ намного больше, чем m ₂ ?

Бывает, что m ₁ все еще _{находится} в состоянии покоя, а m ₂ возвращается с той же скоростью, с которой он ударил.

Коэффициент реституции или правило Гюйгенса-Ньютона

Ранее для двух объектов, находящихся в упругом столкновении, была получена следующая зависимость между скоростями: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Эти различия представляют собой относительные скорости до и после столкновения. В общем, для столкновения верно следующее:

Идея относительной скорости лучше всего понимается, если читатель представляет, что он находится на одной из частиц, и из этого положения он наблюдает скорость, с которой движется другая частица. Приведенное выше уравнение переписывается так:

Решенные упражнения

-Решенное упражнение 1

Бильярдный шар движется влево со скоростью 30 см / с, сталкиваясь лицом к лицу с другим идентичным шаром, который движется вправо со скоростью 20 см / с. Два шара имеют одинаковую массу, и столкновение происходит идеально. Найдите скорость каждого шара после удара.

Решение

u ₁ = -30 см / с

u ₂ = +20 см / с

Это особый случай, когда две одинаковые массы упруго сталкиваются в одном измерении, поэтому скорости меняются.

v ₁ = +20 см / с

v ₂ = -30 см / с

-Решенное упражнение 2

Коэффициент возврата мяча, отскакивающего от земли, равен 0,82. Если мяч упадет из состояния покоя, какой части первоначальной высоты достигнет мяч после одного отскока? А после 3-х подборов?

Мяч отскакивает от твердой поверхности и с каждым отскоком теряет высоту. Источник: самодельный.

Решение

Почва может быть объектом 1 в уравнении для коэффициента восстановления. И он всегда остается в покое, так что:

С такой скоростью он подпрыгивает:

Знак + указывает на то, что это восходящая скорость. И согласно ему, мяч достигает максимальной высоты:

Теперь он снова возвращается на землю с такой же скоростью, но противоположного знака:

Таким образом достигается максимальная высота:

Вернитесь на землю с:

Последовательные отскоки

Каждый раз, когда мяч подпрыгивает и поднимается, снова умножайте скорость на 0,82:

В этот момент h ₃ составляет около 30% от h _o . Какой была бы высота до 6-го отскока без необходимости производить такие детальные вычисления, как предыдущие?

Было бы h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o всего 9% h _o .

-Решено упражнение 3

Блок массой 300 г движется на север со скоростью 50 см / с и сталкивается с блоком массой 200 г, движущимся на юг со скоростью 100 см / с. Предположим, что удар совершенно упругий. Найдите скорости после удара.

Данные

m ₁ = 300 г; u ₁ = + 50 см / с

м ₂ = 200 г; u ₂ = -100 см / с

-Решено упражнение 4

Масса m ₁ = 4 кг выпускается из указанной точки на гусенице без трения, пока она не столкнется с m ₂ = 10 кг в состоянии покоя. Насколько высоко поднимается m ₁ после столкновения?

Решение

Так как трение отсутствует, механическая энергия сохраняется, чтобы найти скорость u _1, с которой m ₁ ударяется о m _2. Первоначально кинетическая энергия равна 0, поскольку m ₁ начинается в состоянии покоя. Когда он движется по горизонтальной поверхности, он не имеет высоты, поэтому потенциальная энергия равна 0.

Теперь вычисляется скорость m ₁ после столкновения:

Знак минус означает, что он был возвращен. С этой скоростью он поднимается, и механическая энергия снова сохраняется, чтобы найти h ', высоту, на которую ему удается подняться после столкновения:

Обратите внимание, что он не возвращается в исходную точку на высоте 8 м. Ему не хватает энергии, потому что масса m ₁ отдала часть своей кинетической энергии _.

Ссылки

1. Джанколи, Д. 2006. Физика: принципы с приложениями. 6 ^чт . Эд Прентис Холл. 175-181
2. Рекс, А. 2011. Основы физики. Пирсон. 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Основы физики. 9 ^на Cengage Learning. 172-182
4. Типлер П. (2006) Физика для науки и техники. 5-е изд., Том 1. От редакции Reverté. 217-238
5. Типпенс, П. 2011. Физика: концепции и приложения. 7-е издание. Макгроу Хилл. 185-195